3. Моделирование процессов разработки. (Уравнения неразрывности, движения и состояния). Начальные и граничные условия.

Уравнения неразрывности.

Выделим мысленно в пористой среде, в которой происходит движение флюида, элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz. Пусть т. М, совпадающая с центром левой грани ab, имеет координаты т. М. (x, y, z), тогда точка М’ в центре правой грани a’ b’ имеет координаты т. М (x+dx, y, z). Масса флюида, втекающего в объем через грань ав за малый промежуток времени dt, записывается в виде: В силу малости выделенного объема и его грани можно считать, что плотность и скорость фильтрации распределены на гранях аb и а’b’ равномерно и равны значениям их в точках М и М’ соответственно. Масса флюида, вытекающего из объема через грань a’b’ равна .Координата х изменилась на малую величину dx, тогда

Поэтому изменение массы флюида в объеме аbа’b’ за промежуток времени dt за счет потока вдоль оси х будет равно

Аналогично, рассматривая фильтрацию флюида вдоль осей y и z, получим .Общее изменение массы в объеме dxdydz за время dt будет равно

С другой стороны массу флюида можно определить выражением

М = mdxdydz

Изменение массы за промежуток dt, при условии, что объем элемента dxdydz фиксирован, записывается

Приравнивая (1) и (2) получим

Это уравнение неразрывности справедливо в том случае, когда нет источников и стоков, выделяющих или поглощающих флюид.

Учитывая, что , тогда

- уравнение неразрывности.

Уравнение движения. Рассмотрим фильтрацию флюидов в пористых средах, принимая в качестве закона движения закон Дарси: . Для трубки тока с переменной площадью сечения по длине трубки закон Дарси записывается в дифференциальной форме. Выделим два сечения: первое на расстоянии S от начала отсчета, второе на расстоянии dS от первого. Пусть движение флюида происходит в направлении возрастания координаты S , в сечении с координатой S обозначим приведенное давление через Р^*(S, t), а в сечении с коор-той S+dS . Тогда используя формулу получим

Знак «-» потому, что приведенное давление уменьшается. Модель изотропного неоднородного пласта имеет вид: К=К(x, y, z). Запишем уравнение (1) в проекции на оси координат. Если обозначить через i, j, k –единичные векторы вдоль осей координат, то вектор скорости фильтрации можно записать так: w = iw_x +jw_y + w_z , в правой части (1) P^*/S представляет собой градиент приведенного давления, т. е. вектор с составляющими

Если ось oz направлена вертикально вверх, то диф. ур-я движения примут вид:

или в векторной форме

Пористые среды, в которых коэффициент проницаемости зависит от направления потока называются анизотропными.

Уравнение состояния. При изотермическом процессе зависимость плотности однородного флюида от давления представляет собой уравнение состояния.

Уравнением состояния идеального газа является уравнение Менделеева – Клапейрона: Р/ = RT (1), где R – газовая постоянная для газа с молекулярной массой  и связанная с универсальной газовой постоянной R соотношением : R = R/. Если Т = Т_пл = const, а _ат – плотность газа при атмосферном давлении Р_ат и пластовой температуре Т_пл, то отношение Р_ат/_ат = RT. (2) Приравнивая левые части (1) и (2) получим уравнение состояния идеального газа:  = _ат Р/Р_ат.

Начальные и граничные условия необходимы для получения решения системы уравнений. Начальные условия заключаются в задании искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный, н.п

если искомой ф-цией явл-ся пластовое давление, то н.у. имеют вид: P=Po(x,y,z) при t=0, т.е. в нач. момент задается распределение давления во всем пласте.

Если в нач. момент пласт не возмущен, то н.у. примут вид: Р=Рн=const, t=0, где Рн – начальное давление.

Граничные условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.