1. Отделение корней
Часто при решении уравнения важно знать заранее, имеет ли оно корни, и если имеет, то где они, примерно, располагаются. В общем случае отделение корней уравнения (1) базируется на известной теореме о существовании корня непрерывной функции из математического анализа:
Теорема (о существовании корня непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует по крайней мере один корень уравнения (1).
Определение непрерывной функции и некоторые свойства рассматриваются и доказываются в [5] (лекция 4, с.15).
Коротко прокомментируем
эту теорему. Во-первых,
требование непрерывности функции f(x)
во всех точках отрезка [a,b]
существенно. При наличии хотя бы одной
точки разрыва утверждение теоремы
становится неверным. Для примера
рассмотрим график функции
(рис.
2). Здесь, мы имеем график разрывной
функции, которая принимает на концах
отрезка [0,1] значения разных знаков
(f(0)=-2<0;
f(1)=3>0),
но не имеющей корней.
Рис. 2. Пример разрывной функции, принимающей на отрезке [0,1] значения разных знаков, но не имеющей на этом отрезке корней
Во-вторых, гарантируя существование решения уравнения (1), теорема не позволяет определить число его корней. К примеру, рассмотрев функцию f(x) = sin8x - 0,5 (её график приведен на рис.3), видно, что она непрерывна на всей числовой оси, на концах, скажем отрезка [1,2], принимает значения разных знаков – имеет на этом отрезке, три корня.
Рис. 3. Пример функции f(x)=sin8x-0,5, имеющей на отрезке [1,2] три корня
Иногда число корней можно установить с помощью дополнительных исследований. А именно, приведем следующие следствия из теоремы о существовании корня непрерывной функции:
Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], принимает на его концах значения разных знаков и монотонно возрастает (убывает), то на этом отрезке существует единственный корень уравнения (1).
Необходимым и достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке является сохранение знака её производной (см.[5], теорема 16, c.31). Поэтому естественно следующее следствие:
Следствие 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема внутри [a,b], принимает на его концах значения разных знаков и f’(x)>0 (f’(x)<0) внутри [a,b], то на отрезке [a,b] существует единственный корень уравнения (1).
Рассмотрим в качестве примера функцию f(x)=x-ex-2, график которой приведён на рис.4. Эта функция непрерывна на [0,1], дифференцируема внутри [0,1], f(0) = -e-2= -0,13534<0, f(1)=1-e-1= 0,632121>0. Производная этой функции имеет вид: f’(x)=1 - ex-2. В интересующей нас области изменения переменной x[0,1] производная положительна. Следовательно, функция f(x)=x-ex-2 на отрезке [0,1] монотонно возрастает и может иметь только один корень.
Рис. 4. Пример функции f(x)=x-ex-2, непрерывной на отрезке [0,1],
принимающей на концах отрезка значения разных знаков и монотонно возрастающей на этом отрезке
Заметим, что сохранение знака второй производной функции f(x) на отрезке (при прочих условиях), также будет означать существование единственного корня f(x) на этом отрезке. А именно, справедливо следующее следствие:
Следствие 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дважды дифференцируема внутри [a,b], принимает на его концах значения разных знаков и f ’’ (x)>0 (f ’’ (x)<0) внутри [a,b], то на отрезке [a,b] существует единственный корень уравнения (1).
В общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться корни, и осуществляют "прогулку" по этому диапазону с выбранным шагом h (обычно выбирают в качестве h единицу) для обнаружения перемены знаков f(x), т.е. f(x)f(x+h)<0.
Следует заметить, что иногда удается выяснить картину расположения корней уравнения (1) с помощью эскиза графика функции f(x). То есть, отделение корней уравнения (1) можно выполнить графически, построив график функции f(x), по которому можно судить о том, в каких промежутках находятся точки пересечения его с осью Ох. В некоторых случаях целесообразно представить уравнение (1) в эквивалентном виде
f1(x)=f2(x) |
( 0) |
с таким расчетом, чтобы графики функций y = f1(x) и y = f2(x) строились проще, чем график f(x). Корень уравнения (2) представляет собой абсциссу точки пересечения графиков y=f1(x), y= f2(x).