5.1 Общие понятия дифференциальных уравнений

Уравнение, содержащее хотя бы одну из производных у', у'', у''',… неизвестной функции у = у(х), называется дифференциальным уравнением для этой функции. Сама функция у и её аргумент х могут входить, а могут и не входить в дифференциальное уравнение. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Таким образом, F(х; у; у') = 0 - общий вид дифференциального уравнения первого порядка;

F(х; у; у'; у'') = 0- общий вид дифференциального уравнения второго порядка, и т.д.

Решением (частным решением) дифференциального уравнения на некотором промежутке [a; b] оси ох называется функция, удовлетворяющая для всех х є [a;b] дифференциальному уравнению, то есть обращающая его в тождество (верное числовое равенство 0=0). Графики частных решений у = f(х) дифференциального уравнения называется его интегральными кривыми.

Решить дифференциальное уравнение (любого порядка) – это значит найти все его частные решения, то есть найти все функции у = f(х), удовлетворяющие этому уравнению. Формула, содержащая все (или почти все) частные решения дифференциального уравнения, называется его общим решением. Частные решения, не содержащиеся в общем решении, называются особыми решениями дифференциального уравнения.

5.2 Алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Это – дифференциальные уравнения вида

(6)

Решение таких уравнений производится по следующей схеме.

1. Сначала находим такие числовые значения , при которых

(7)

Функции являются, очевидно, частными решениями уравнения (6), ибо при подстановке каждой из них в это уравнение получим тождество 0=0.

2) Теперь находим все остальные решения уравнения (6), для которых . Делаем это по схеме:

| разделим выражения с х и у (разделим переменные х и у)) |

| интегрируем обе части |

(8)

Полученное равенство представляет собой общее решение уравнения (6) в неявном виде (его общий интеграл). Если в нем можно выразить , приводим его к явному виду .

5.3 Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Это – дифференциальные уравнения вида

(9)

Такие уравнения сводятся к уравнениям (6) с разделяющимися переменными после введения новой известной функции . Действительно, пусть

тогда (10)

С учетом равенств (10) уравнение (9) примет вид:

(11)

А это - уравнение вида при и , то есть уравнение с разделяющимися переменными для новой неизвестной функции . Найдя все его решения , затем по формуле найдем и все решения исходного уравнения (9).

5.4 Алгоритм решения дифференциальных уравнений 1-го порядка, приводящихся к однородным дифференциальным уравнениям

Если дифференциальное уравнение первого порядка F(х; у; у') = 0 задано вместе с начальным для него условием , то говорят, что для этого уравнения задана задача Коши:

(1)

Решить её - это значит найти те частные решения дифференциального уравнения F(х; у; у') = 0 , которые еще удовлетворяют и заданному начальному условию _.

Схема решения задачи Коши (1) такова:

1. Решаем дифференциальное уравнение F(х; у; у') = 0 и находим все его решения. То есть находим общее решение (общий интеграл) и возможные особые решения .

2. Подставляем начальные значения х = х₀ и у = у₀ в общее решение и находим соответствующее значение (значения) константы С:

(2)

3. Подставляем каждое из найденных значений С в общее решение и получаем частные решения

,

являющиеся решением задачи Коши. Это те решения этой задачи, которые выделяются из общего решения дифференцированного уравнения F(х; у; у') = 0.

4. Проверяем, нет ли среди особых решений дифференциального уравнения F(х; у; у') = 0 таких, которые удовлетворяют начальному условию у(х₀) = у_0. Если такие найдутся, они тоже будут решениями задачи Коши (1).