11Взаимокорреляционная функция двух сигналов

Взаимокорреляционной функцией (ВКФ) двух вещественных сигналов U(t) и V(t) называется скалярное произведение вида:

(4.18)

ВКФ служит мерой «устойчивости» ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени.

Действительно, если сигналы U(t) и V(t) ортогональны в исходном состоянии, то

При прохождении этих сигналов через различные устройства возможно, что сигнал V(t) будет сдвинут относительно сигнала U(t) на некоторое время .

Свойства ВКФ.

1) В отличие от АКФ одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух независимых сигналов, не является чётной функцией аргумента :

(4.19)

2) Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их ВКФ ограничена.

3) При значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума.

Пример ВКФ может служить

взаимокорреляционная функция прямоугольного и треугольного видеоимпульсов.

Установим связь ВКФ со взаимной спектральной плотностью (взаимным энергетическим спектром)

На основании теоремы Планшереля

и поскольку спектр смещённого во времени сигнала ,то и (4.20)

Поскольку взаимный энергетический спектр то будет справедливо равенство:

(4.21)

Таким образом, взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр связаны между собой парой преобразований Фурье.

Если сигналы U(t) и V(t) – дискретные, то их можно задать как совокупность отсчётов, следующих во времени с одинаковыми интервалами T

Тогда по аналогии с АКФ одиночного сигнала ВКФ двух дискретных сигналов определится по формуле:

(4.22)

где n – целое число, положительное, отрицательное или нуль.

12Сигналы и векторы.

Аналоговый сигнал s(t), подвергшийся дискретизации на временном интервале [a,b] можно записать в виде ряда значений N точек (которые мы так же называли отсчетами):

S = (s₀, s₁, s₂,..., s_N-1)

Данный ряд можно представить N-мерным вектором (величиной представленной набором N числовых значений, расположенных в определенном порядке). Условимся здесь и далее обозначать вектор жирным шрифтом - S. Элемент из этого числового набора называется компонентой вектора. Качество приближения функции s(t) (рисунок 1 а) вектором S зависит от числа N (очевидно, что при фиксированном интервале [a,b] изменение N влияет на период дискретизации T) (рисунок 1 б,в). При  N→∞ (а значит при T→0), вся информация, содержащаяся в исходном сигнале s(t) на временном интервале [a,b] (если сигнал s(t) не имеет на данном интервале точек разрыва) будет содержаться и в векторе S (рисунок 1 г). Это означает, что анализ вектора S будет равнозначен анализу исходного аналогового сигнала на интервале [a,b], заданного функциейs(t).

Рисунок 1

Двумерный вектор, расположенный в двумерном пространстве (на плоскости), соответствует одной точке на этой плоскости (графически представляется отрезком, соединяющим начало координат и заданную точку, стрелочкой указывается направление). Трехмерный вектор соответствует точке в трехмерном пространстве, N- мерный вектор так же соответствует точке, но в N-мерном пространстве, которое к сожалению (или к счастью) мы не можем представить графически.  Если представить пространство бесконечно большой размерности, то непрерывная функция s(t) соответствует одной точке этого пространства. Это абстрактное пространство бесконечной размерности называют пространством функций.

Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал при любых принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых и существует их сумма , причём также содержится в . Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа определён сигнал .

4. Множество содержит особый нулевой элемент , такой, что для всех .

Линейное пространство, элементами которого являются функции, называется функциональным.

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения , то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, можем ввести понятие комплексного линейного пространства.

Как и в обычном трёхмерном пространстве в линейном пространстве сигналов можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей. В качестве таких осей используются линейно независимые векторы.

Совокупность векторов ,принадлежащих , является линейно независимой, если равенство:

(1.1)

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов .

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве.

Аксиомы нормированного пространства

1. Норма неотрицательна, т.е. . Норма =0 тогда и только тогда, если

2. Для любого числа справедливо равенство .

3. Если и - два вектора из L, то выполняется неравенство:

Существуют разные способы определения нормы сигналов. Чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму:

(1.2)

(из двух возможных значений корня выбирается положительное). Для комплексных сигналов норма:

,

где *-символ комплексно-сопряжённой величины.

Квадрат нормы называется энергией сигнала

(1.3)

Такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1Ом, если на его зажимах существует напряжение .

Норму в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом: .