
- •1 Классификация сигналов
- •2. Дельта-функция или функция Дирака.
- •4 Обобщенный ряд Фурье. Базисные функции. Отронормированный базис.
- •5 Функции Уолша и их свойства
- •6 Итегральное преобразование Фурье. Спектральная плотность сигналов и ее свойства.
- •7 Теоремы о спектрах
- •8 Теоремы о спектрах
- •9 Спектры модулированных сигналов
- •10 Автокорреляционная функция сигналов
- •11Взаимокорреляционная функция двух сигналов
- •12Сигналы и векторы.
- •13 Аналитический сигнал.
- •14 Преобразования Гильберта
- •15 Дискретное преобразование Фурье
- •16 Быстрое преобразование Фурье
- •18 Случайные процессы. Ансамбль реализаций.Плотность вероятности и функция распределения.
- •19 Числовые характеристики случайных величин (моментные функции).
- •20 Стационарные и эргодические случайые процессы.
- •21Спектральное представление стационарных случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина
- •22Узкополосные случайные сигналы
- •23 Гауссовский случайный процесс. Белый шум и его свойства.
- •24 Воздействие случайных сигналов на линейные стационарные цепи
- •25 Воздействие стационарных случайных сигналов на безынерционные нелинейные цепи
- •30 Комбинационное разделение сигналов
- •26Шумоподобный сигнал
- •27Основы теории многоканальной передачи сообщений
- •28Частотное разделение сигналов
- •29Фазовое и Разделение сигналов по форме
- •31 Система сдма
- •32Постановка задачи оптимального приёма дискретных сообщений.
- •33Критерии качества оптимального приёмника
- •34Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. Когерентный приём
- •35Структурное построение оптимального приёмника
- •36Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра
- •Помехоустойчивость приема т сигналов, известных точно
- •38Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции
- •39Приём сигналов с неопределённой фазой (некогерентный приём)
- •40. Потенциальная помехоустойчивость оптимального приемника двоичных частотно-модулированных сигналов с неизвестной начальной фазой
- •Потенциальная помехоустойчивость оптимального приемника двоичного амплитудно-модулированного сигнала с неизвестной начальной фазой
- •41Потенциальная помехоустойчивость приема дискретных сообщений при замираниях сигнала
- •42 Цифровые фильтры
- •43. Импульсная реакция фильтров.
- •2.4. Частотные характеристики фильтров
- •44 Трансверсальные цифровые фильтры
- •45 Рекурсивный цифровой фильтр
- •48 Вейвлет–преобразование
- •47 Пример синтеза линейных цифровых фильтров
7 Теоремы о спектрах
Свойство
линейности.Если
имеется некоторая совокупность сигналов
причём
,…,
то взвешенная сумма сигналов преобразуется
по Фурье следующим образом:
(2.11)
Здесь
-
произвольные числовые коэффициенты.
Теорема о сдвигах.
Предположим,
что для сигнала
известно
соответствие
.
Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий
на
секунд позднее. Принимая точку
за новое начало отсчёта времени,
обозначим этот смещённый сигнал как
.
Введём замену переменной:
.
Тогда
,
Модуль
комплексного числа
при любых
равен 1, поэтому амплитуды элементарных
гармонических составляющих, из которых
складывается сигнал, не зависят от его
положения на оси времени. Информация
об этой характеристике сигнала заключена
в частотой зависимости аргумента от
его спектральной плотности (фазовом
спектре).
Теорема масштабов.
Предположим,
что исходный сигнал
подвергнут изменению масштаба времени.
Это означает, что роль времени
играет новая независимая переменная
(
-
некоторое вещественное число.) Если
>
1, то происходит “ сжатие” исходного
сигнала; если же 0<
<1,
то сигнал “растягивается” во времени.
Если
,
то :
Произведём
замену переменной
,
тогда
,
откуда следует:
(2.13)
При сжатии сигнала в раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в раз.
Очевидно, что при растягивании сигнала во времени ( т.е. при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.
8 Теоремы о спектрах
Теорема о свёртке.
Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.
Пусть
и
-
два сигнала, для которых известны
соответствия
,
.Образуем
произведение этих сигналов:
и вычислим его спектральную плотность.
По общему правилу:
(2.18)
Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал через его спектральную плотность и подставим результат в (2.18):
Изменив порядок интегрирования, будем иметь:
откуда:
(2.19)
Интеграл, стоящий в правой части называют свёрткой функций V и U. Символически операция свёртки обозначается как *
Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:
(2.20)
Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:
Теорема
о свёртке может быть обращена: если
спектральная плотность некоторого
сигнала представляется в виде произведения
,
причём
и
,
то сигнал
является свёрткой сигналов
и
,
но уже не в частной , а во временной
области:
(2.21)
Теорема Планшереля
Пусть
два сигнала
и
,
в общем случае комплексные , определены
своими обратными преобразованиями
Фурье:
;
.
Найдём скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например , через его спектральную плотность:
Здесь
внутренний интеграл представляет собой
спектральную плотность
сигнала
поэтому:
(2.22)
Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.