4 Обобщенный ряд Фурье. Базисные функции. Отронормированный базис.

Введём понятие скалярного произведения элементов линейного пространства. Скалярное произведение вещественных сигналов u и v:

(1.6)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

3. , где - вещественное число

4. 

5. - справедливо неравенство Коши-Буняковского.

Линейное пространство с таким скалярным произведением, содержащее в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства называется вещественным Гильбертовым пространством H.

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное Гильбертово пространство.

Если сигналы комплексные, то скалярное произведение:

(1.7)

Два сигнала и называют ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

(1.8)

Предположим, что на отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

1, если

_{0, если}

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольный сигнал в ряд:

(1.10)

Такое представление называется обобщённым рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию с произвольным номером , умножим на неё обе части равенства (1.10) и затем проинтегрируем результаты по времени:

(1.11)

Ввиду ортонормированности базиса по определению в правой части равенства (1.11) останется только член суммы с номером , поэтому:

(1.12)

Рассмотрим некоторый сигнал, , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

(1.13)

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме (1.13) отличными от нуля окажутся только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат, который называется равенством Парсеваля:

(1.14)

Смысл этой формулы: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье.

Эта теорема (доказана академиком Котельниковым В.А. в 1933 г.), устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром, исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени.

Любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству (3.9)

являются ортогональными если установить сдвиг

Путём соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В результате будет построен ортонормированный базис, позволяющий разложить произвольный сигнал с ограниченным спектром в обобщённый ряд Фурье. Из семейства функции достаточно рассмотреть лишь функцию при k=0.

(3.10)

так как норма любого сигнала одинакова независимо от сдвига во времени. Определим квадрат нормы и проинтегрируем по t.

Функции будут ортонормированными, если:

(3.11)

Бесконечная совокупность функций.

(3.12)

образует базис Котельникова в линейном пространстве низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением . Отдельная функция называется k-той отсчётной функцией. Если произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова:

(3.13)

Коэффициентами ряда служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и k-той отсчётной функции:

.14)

Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении теоремы Планшереля. Легко проверить, что каждая отсчётная функция в пределах отрезка имеет спектральную плотность, равную .

Тогда, если - спектр излучаемого сигнала S(t), то по теореме Планшереля ,

Тогда:

(3.15)

Величина в фигурных скобках есть не что иное, как , т.е. мгновенное значение сигнала S(t) в каждой отсчётной точке (по аналогии с )

Таким образом:

(3.16)

Откуда следует выражение ряда Котельникова:

Теорему Котельникова принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчётные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени с.

Важная особенность теоремы Котельникова состоит в её конструктивном характере: она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчётными значениями.

Теорема Котельникова показывает возможность «цифровизации» непрерывных сообщений.

Для представления непрерывных сигналов используются различные системы ортогональных функций.

1. Для представления непрерывных сигналов используются преимущественно ортогональные функции и полиномы Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита.

1) Полиномы Лежандра (1-го рода) определяются формулой:

,

Ряд выглядит следующим образом:

Спектральные коэффициенты определяются формулой:

,

2) Полиномы Чебышева (1-го рода) определяются формулой:

Ряд:

График полинома Чебышева 4-го порядка:

Полиномы Чебышева обеспечивают наименьшую максимальную ошибку аппроксимации на интервале . Эффективны для аппроксимации АЧХ различных фильтров.

3) Полиномы Лагерра определяются формулой

Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при функций, то удобнее пользоваться функциями Лагерра

Разложение в ряд по функциям Лагерра

коэффициенты должны определяться по формуле:

Функции Лагерра получили широкое распространение в измерительной технике и в многоканальных системах связи, что объясняется простотой их генерирования.

4) Полиномы Эрмита определяются формулой:

Разложение в ряд по нормированным функциям Эрмита:

- коэффициенты ряда (спектральные составляющие)

Полиномы Эрмита отличаются от полиномов Лагерра тем, что полиномы Лагерра определены на интервале, представляющем собой полуось , а полиномы Эрмита – на интервале, представляющем собой всю ось .