Помехоустойчивость приема т сигналов, известных точно

Вероятность принятия ошибочного решения оптимальным демодулятором mсигналов, известных точно:

где р_п — вероятность принятия правильного решения.

Вероятность р_n определяется вероятностью события, заключающегося в том, что значения случайных величин ξ_j, вычисленных корреляторами с номерами j i в схеме, приведенной на рис. 7.1, будут меньшее значения ξ_ί=z, вычисленного коррелятором с номером i.

Пусть сигналы u_ί(t) ортогональны и имеют одинаковые энергии. Можно доказать, что вследствие ортогональности сигналов, случайные величины ξ_ί,i=1, 2,.·.,m статистически независимы. Поэтому вероятность того, что все (m - 1) случайные величины окажутся меньше z, равна

Вероятность того, что случайная величина ξ_ίнаходится в пределах от z до z+dz, равна w_ί(z)dz, где w_ί(z) — плотность распреде­ления вероятности случайной величины ξ_ί(рис.7.25).

Величина ξ_ίнезависима по отношению ко всем остальным величинам ξ_j, j i , следовательно вероятность события, заключающегося в том, что ξ_j<z(j i),аξ_ίнаходится в интервале dz, равна

Так как случайная величина ξ_iможет находится в пределах любого бесконечно малого значения dz (рис.7.25), то вероятность того, что значения случайных величин ξ_j, ji будут меньше значения ξ_i=z, определится выражением

(7.45)

При условии приема сигналов на фоне нормального белого шума с нулевым средним значением плотность распределения вероятности w_ί(z) подчиняется нормальному закону со средним значением, равным энергии сигнала Ε и дисперсией равной ,

т.е. (7.46)

Случайные величины ξ_i, j i.также подчинены нормальному закону с нулевым средним значением и дисперсией N₀E/2 = σ².

Поэтому вероятность

(7.47)

Подставляя (7.46), (7.47) в (7.45), получим:

(7.48)

где

Полученный интеграл можно вычислить только приближенными методами.

Результаты расчетов приведены на рис. 7.26 в виде графиков зависимостей

где

Анализ этих зависимостей позволяет сделать следующий вывод.

Системы ортогональных сигналов с m>2 при одинаковой скорости передачи информации и одинаковой вероятности ошибки позволяют обеспечить существенный выигрыш в энергии сигнала по сравнению с двоичными сигналами. Например, при т = 32 и p_ош=10 выигрыш равен двум.

Это дает возможность упростить передатчик системы за счет уменьшения его мощности. Однако сложность демодулятора возрастает (увеличивается число корреляторов). Усложняется при этом и канал связи (из-за увеличения ширины спектра сигнала). При относительно больших отношениях сигнал/шум формулу (7.48) можно привести к следующему приближенному выражению

Отсюда выражение для вероятности ошибки

(7.49)

При m = 2 последняя формула переходит в формулу (7.41).