34Алгоритм оптимального приёма при полностью известных сигналах. Когерентный приём
Полностью известными называются сигналы, у которых известны информационные параметры (то есть параметры, которые модулируются).
Когерентный приём – это приём полностью известных сигналов.
Предположим,
что в канале действует наиболее типичная
помеха – гауссовский аддитивный шум
N(t),
который в начале будем считать белым
(широкополосным) со спектральной
плотностью
.
Это значит, что при передаче сигнала
(символа
,
i=0,1,
…,m-1)
приходящий сигнал можно описать моделью:
(3.11)
где все известны. Неизвестны лишь реализация помехи и индекс i действительно переданного сигнала, который и должна определить решающая схема.
Будем так же считать, что все сигналы являются финитными.
Определим в этих условиях алгоритм работы оптимального приёмника, анализирующего сигнал на тактовом интервале 0-Т по критерию максимального правдоподобия.
Алгоритм предусматривает ряд отдельных последовательных действий – «шагов»
1) Примем так называемую нулевую (или шумовую) гипотезу: S(t)=0; Z(t)=N(t)
То есть предположим, что на вход приёмника поступает только шум.
2)
Задача затрудняется тем, что ширина
спектра сигнала бесконечна (поскольку
он финитный), а поэтому пространство
сигналов бесконечное. Для таких сигналов
не существует плотности вероятностей.
Однако существуют n-мерные
плотности вероятностей для любых n
сечений сигнала. Поэтому заменим белый
шум квазибелым, имеющим ту же одностороннюю
спектральную плотность мощности
,
но только в некоторой полосе частот F.
3)
Возьмём на тактовом интервале (Т) n
равноотстоящих сечений через
.
Отсчёты
в этих сечениях квазибелого гауссовского
шума независимы.
4) Поэтому n-мерная плотность вероятностей для взятых отсчётов:
(3.12)
где
–
дисперсия (мощность) квазибелого шума.
5)
При гипотезе, что передавался символ
,
согласно (3.11)
.
Следовательно, условная n-мерная
плотность вероятности сечений Z(t)
определяется такой же формулой, как и
(3.12), если
заменить разностью
,
представляющей при этой гипотезе шум:
(3.13)
6) Отношение правдоподобия для сигнала (относительно дополнительной гипотезы), вычисленное для n сечений:
(3.14)
7)
Заменим дисперсию
её выражением
Тогда
(3.15)
8)
По правилу максимума правдоподобия в
случае квазибелого шума решающая схема
должна выбирать значение i,
обеспечивающее максимум
.
Вместо максимума
можно отыскивать максимум его логарифма:
(3.16)
9) Второй член в (3.16) можно при сравнении гипотез не учитывать, он сокращается. Тогда правило решения о том, что передавался символ , согласно (3.7) можно выразить системой неравенств:
(3.17)
10)
Вернёмся теперь к исходной задаче для
белого шума. Для этого будем расширять
полосу F,
тогда число сечений n
стремится к бесконечности,
–
к нулю. Суммы в (3.17) обратятся в интегралы,
и правило решения определяется так:
(3.18)
Выражение (3.18) определяет те операции (алгоритм работы), которые должен совершать оптимальный приёмник над входным колебанием Z(t).