23 Гауссовский случайный процесс. Белый шум и его свойства.

А)Белый шумявляется стационарным случайным процессом x(t) с постоянной спектральной плотностью G_x(f) = ^, равной дисперсии значений x(t). Другими словами, все спектральные составляющие белого шума имеют одинаковую энергию (как белый цвет содержит все цвета видимого спектра).

По своему физическому смыслу спектральная плотность - это мощность процесса, которая приходится на 1 Гц полосы частот. Но тогда идеального белого шума на практике не может существовать, так как для него должно было бы выполняться условие:

R_x(0) = G_x(f) df = (²/2)(0) = , (17.4.7)

т.е. мощность белого шума и его дисперсия равны бесконечности, а значения шума не коррелированны для любых ||  0, так как корреляционная функция представляет собой идеальный дельта-импульс. Тем не менее многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях рассматривают как белый шум, если выполняется следующее соотношение между шириной спектров полезных сигналов и шумов

_{сигнал}/B_k.шум<< 1,

и спектральная плотность шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала.

Если частотный диапазон спектра, на котором рассматриваются сигналы и помехи, равен 0-В, то спектральная плотность шума задается в виде:

G_x(f) = ², 0  f  B; G_x(f) = 0, f > B, (17.4.8)

при этом корреляционная функция шума определяется выражением:

R_x() = ²Bsin(2B) / 2B. (17.4.9)

Эффективная шумовая ширина спектра:

B_k = R_x(0)/G_x(f)_max = B. (17.4.10)

Эффективное шумовое время ковариации:

T_k=2 |R_x()|d/R_x(0).

Реальное шумовое время ковариации целесообразно определить по ширине главного максимума функции R_x(), в котором сосредоточена основная часть энергии шумов, при этом T_k = 1/В и B_kT_k = 1, т.е. соотношение неопределенности выполняется.

Как следует из всех этих выражений и наглядно видно на рис. 17.4.4, при ограничении частотного диапазона в шумах появляется определенная ковариация между значениями и чем меньше частотный диапазон шумов, тем больше их радиус ковариации. По существу, ограничение частотного диапазона шумов определенным диапазоном эквивалентно фильтрации белого шума частотным фильтром с соответствующей шириной полосы пропускания, при этом, в полном соответствии с выражением (17.3.7), корреляционная функция импульсного отклика фильтра переносится на шум.

Гауссовский шум возникает при суммировании статистически независимых белых шумов и имеет следующую функцию корреляции:

Спектральная плотность шумов:

S_x(f) = (a/ ) exp(-f²/2²), - < f <. (17.4.13)

Эффективные шумовые ширина спектра и время ковариации:

B_k =  /2 = 1.25, T_k = 1/ = 0.4/. (17.4.14)

Соотношение неопределенности превращается в равенство: B_kT_k = 1/2.

Гауссовские случайные процессыпреобладают в практических задачах. Случайный процесс x(t) называется гауссовским, если для любого набора фиксированных моментов времени t_n случайные величины x(t_n) подчиняются многомерному нормальному распределению. Плотность вероятностей мгновенных значений x(t) эргодического гауссовского процесса определяется выражением:

(x) = (_x )^-1 exp(-(x-m_x)²/2²). (17.4.15)

Среднее значение и его оценка по достаточно большому интервалу Т:

m_x = xp(x) dx, m_x  (1/T) x(t) dt.

При нулевом среднем (или при центрировании функции x(t) для упрощения расчетов) дисперсия не зависит от t и равна:

_x² = x² p(x) dx.

Оценка дисперсии при больших Т:

_x² (1/T) x²(t) dt = S_x(f) df = 2 S_x(f) df = G_x(f) df. (17.4.16)

Следовательно, плотность вероятностей гауссовского процесса полностью характеризуется спектральной плотностью, по которой можно определить значение дисперсии процесса. На вид спектральных плотностей и соответствующих им ковариационных функций никаких ограничений не накладывается.