4. Определяющие соотношения упругопластического материала с гладкой поверхностью текучести. Уравнения Прандтля – Рейсса для идеального упругопластического материала.

Пусть скорости деформаций удовлетворяют выражению

(5.33)

и в упругой области выполняются соотношения

или , (5.34)

а в пластической имеется ассоциированный закон течения

. (5.35)

Если материал с упрочнением, то

(5.36)

Для идеального упругопластического материала

(5.37)

Найдем для упрочняющегося материала. Для начала введем параметр упрочнения (рис. 5.1.8):

. (5.38)

Рис. 5.1.8. Параметр упрочнения.

Тогда

. (5.39)

Рассмотрим случай пластического деформирования . Подставив (5.39) в (5.35), получим

. (5.40)

Пусть тензор в девятимерном пространстве представляется вектором единичной нормали к поверхности текучести.

. (5.41)

Подставляя (5.41) в (5.35), получим

. (5.42)

Перепишем (5.36) в виде

(5.43)

Из (5.33) и (5.34) следует, что

. (5.44)

Подставляя (5.42) в (5.44) и помня, что , получим

. (5.45)

Из (5.41) и (5.45) получаем

. (5.46)

. (5.47)

Так как и (по свойству положительной определенности тензора упругих определяющих соотношений), (5.43) можно с учетом (5.45) переписать в виде

(5.48)

Теперь найдем для идеального упругопластического материала.

Перепишем (5.35), (5.37) с учетом (5.41):

. (5.49)

(5.50)

Из (5.44) и (5.49) при следует

. (5.51)

Поскольку , когда , из (5.51) получаем

. (5.52)

Подставляя (5.52) в (5.51), имеем

. (5.53)

Так как для пластического течения , то условие (5.50) можно переписать в виде (5.48). Действительно, при может быть только упругое деформирование, так как из (5.52) следует невозможность выполнения неравенства при пластической деформации (так как ). Покажем, что неравенство обязательно соответствует пластической деформации. Пусть при и происходит упругое деформирование. Тогда , а значит , что противоречит тому, что для идеального упругопластического тела при упругом деформировании и .

Формулы (5.47) и (5.53) можно объединить, так что для идеального упругопластического материала определяющие соотношения будут имеет вид

, (5.54)

где , а определяется соотношениями (5.48). Перепишем (5.54) в новой форме, введя новую операцию – тензорное произведение – таким образом: .

, (5.55)

откуда получаем

. (5.56)

. (5.57)

Таким образом, у нас есть единые определяющие соотношения для упругопластического материала. Определяя функцию текучести , получаем различные теории пластического течения с ассоциированным законом пластичности.

Покажем, что если , то материал пластически несжимаем, то есть или ( – относительное изменение объема). Имеем

. (5.58)

. (5.59)

, (5.60)

откуда следует

, (5.61)

аналогично

. (5.62)

Тогда

, (5.63)

что и требовалось доказать.

Если поверхность текучести имеет угловые точки (например поверхность Треска), можно либо заменить ее на близкую к ней гладкую поверхность (Треска на Мизеса), либо представить закон пластического течения в виде линейной комбинации вида

.

Рассмотрим теорию течения с изотропным упрочнением.

(5.64)

Найдем градиенты

.

. (5.65)

(5.66)

. (5.67)

. (5.68)

или . (5.69)

Запишем теперь уравнения теории упругости в следующем виде:

, (5.70)

. (5.71)

Дифференцируя уравнения по , получаем уравнения Прандтля–Рейса для идеально пластического материала.

(5.72)

(5.73)

Определим, как должен выглядеть тензор .

Из закона Гука имеем

. (5.74)

В скоростях закон Гука имеет вид

. (5.75)

Тогда

, (5.76)

так как пропорционально девиаторам.

. (5.77)

Таким образом, для общего выражения (5.54)

имеем

(5.78)

или

,

или

или

(5.79)

или

. (5.80)

В покомпонентной записи это выглядит следующим образом:

. (5.81)

(5.82)

Возможен и другой вариант записи. Отметим, что знак совпадает со знаком так как

. (5.83)

Для упрочняющихся материалов

(5.84)

Для идеального упругопластического материала

(5.85)

Теперь определим параметр для упрочняющегося материала. Отметим, что для этой теории пластичности зависимость параметра можно заменить на зависимость , так как из условия пластичности

. (5.86)

Параметр можно определить из диаграммы растяжения, по которой мы можем определить модуль Юнга и тангенциальный модуль (для определения последнего нелинейный участок диаграммы, соответствующий деформационному упрочнению, приблизим некоторым линейным участком). Вспомним, что

(5.87)

Для одноосного растяжения или сжатия , остальные . Тогда

, (5.88)

, (5.89)

. (5.90)

Теперь рассмотрим теорию течения с кинематическим (линейным) упрочнением.

(5.91)

Отличие от изотропного случая состоит в замене на .

Найдем градиенты

.

. (5.92)

(5.93)

. (5.94)

Аналогично теории с изотропным упрочнением

или .

Формулы для определения , , , полученные для теории течения с изотропным упрочнением остаются в том же виде с той только оговоркой, что параметр здесь определяется только для материала с линейным упрочнением. , так что .

Определим тензор . При пластическом течении справедливо

. (5.95)

, . (5.96)

Аналогично получаем

. (5.97)

Из (5.95) получаем

. (5.98)

Вектору в девятимерном пространстве можно давать разные направления, но его величина определяется из (5.98) так, что проекция вектора на вектор нормали совпадает с проекцией вектора . Направление вектора дается правилами кинематического упрочнения ( ).

1. По Прагеру .

. (5.99)

2. По Циглеру .

. (5.100)

. (5.101)

. (5.102)

В итоге получаем

1. По Прагеру .

2. По Циглеру .

И, наконец, рассмотрим теорию течения с комбинированным упрочнением.

. (5.103)

. (5.104)

. (5.105)

Это равенство будет выполнено, если принять, что

, (5.106)

где в случае кинематического упрочнения и – в случае изотропного.

1. По Прагеру .

2. По Циглеру .

5. Определяющие соотношения деформационной теории пластичности. Теорема о простом нагружении. Сопоставление определяющих соотношений деформационной теории пластичности и теории пластического течения.

В теории течения связь между напряжениями и деформациями строится для бесконечно малых величин. Определяющие соотношения записываются либо для бесконечно малых приращений напряжений и деформаций, либо для скоростей. Можно построить и существенно более простые конечные соотношения между напряжениями и деформациями, представляющие собой некоторое обобщение закона Гука. Теория пластичности, основанная на таких определяющих соотношениях, называется деформационной теорией пластичности.

Положим, упругие и пластические деформации связаны с напряжениями следующими соотношениями:

(5.107)

или

. (5.108)

Для упрочняющегося материала

(5.109)

Для идеального упругопластического материала

(5.110)

Получим формулы для определения тензора напряжений через тензор деформаций. Подставляя (5.107) в (5.108) получаем

. (5.111)

, (5.112)

Получим для диаграммы одноосного растяжения.

. (5.113)

. (5.114)

Более просто получаются соотношения для поиска деформаций через напряжения:

. (5.115)

Произведем сопоставление определяющих соотношений деформационной теории пластичности и теории течения с изотропным упрочнением.

Определим сначала простое (пропорциональное) нагружение, как нагружение, при котором компоненты девиатора тензора напряжений или компоненты тензора напряжений изменяются пропорционально некоторому параметру:

.

Примером такого нагружения может служить однородное напряженное состояние (уравнения равновесия и кинематические граничные условия выполняются тождественно), поскольку в этом случае напряженное состояние определяется только внешними силами пропорционально параметру .

Соотношения для пластических деформаций при простом нагружении будут иметь вид

для теории течения и для деформационной теории.

Теорема. При простом нагружении определяющие соотношения теории течения и деформационной теории эквивалентны.

Доказательство. Пусть осуществляется простое нагружение. Рассмотрим сперва случай идеальной пластичности. При простом нагружении , откуда видим, что , то есть , . Покажем, что , вычисленные по теории течения и по деформационной теории совпадают, откуда и будет следовать эквивалентность определяющих соотношений.

Для теории течения

, (5.116)

, (5.117)

. (5.118)

Для деформационной теории

. (5.119)

. (5.120)

Таким образом, в случае идеальной пластичности утверждение теоремы доказано. Докажем его для случая упрочнения.

Для теории текучести

, (5.121)

. (5.122)

Найдем для деформационной теории.

. (5.123)

, (5.124)

(5.125)

Пусть осуществляется пропорциональное нагружение. Найдем по теории течения и по деформационной теории.

По теории течения

. (5.126)

. (5.127)

По деформационной теории

(5.128)

Таким образом, в деформационной теории и теории течения совпали, откуда следует, что также совпали, а значит определяющие соотношения эквивалентны.

Доказательство завершено.

Обратная теорема. Если соотношения деформационной теории и теории течения эквивалентны, значит нагружение простое.

Доказательство.

. (5.129)

Интегрируя (5.129), получаем

. (5.130)

Поскольку и , то , что и требовалось доказать.

Выпишем теперь скорости деформирования для деформационной теории и теории течения соответственно.

Для теории течения имеем

, (5.131)

для деформационной теории:

. (5.132)

По сравнению с теорией течения деформационная теория имеет два недостатка:

1. не зависит от пути деформирования,

2. из (5.132) видно, что при (нейтральное нагружение) терпит разрыв.

Уравнения теории течения задают как непрерывные функции от , являющиеся однородными функциями первой степени, так как

,

Таким образом, по теореме Эйлера об однородных функциях можно ввести однородную потенциальную функцию второй степени , имеющую непрерывные первые производные и кусочно непрерывные вторые, такую, что

. (5.133)

Уравнения деформационной теории пластичности в этот класс не входят.