Решение:

Закон равных площадей или 2-й закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса для движения в центральном поле.   Выразим момент импульса тела через заданные параметры начального положения: . Из закона сохранения момента импульса следует, что величина , т.е. должна оставаться постоянной в процессе движения. Площадь, описываемая радиус-вектором за бесконечно малый промежуток времени будет равна площади  треугольника с гипотенузой , катетами  и , т.е. . Следовательно, за время  радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, опишет площадь

10 Тело массы  поднимают по наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости , длина ее основания , коэффициент трения . Минимальная  работа, которую надо совершить, в джоулях равна  …

Решение:

Минимальная сила, которую надо приложить к телу, чтобы поднимать его по наклонной плоскости без ускорения, равна сумме составляющей силы тяжести, параллельной наклонной плоскости, и силы трения: . Работа равна , где l – длина  наклонной плоскости. Учитывая, что    и , получим . Следовательно, минимальная работа .

11 Кинетическая энергия тела (спутника), движущегося по круговой орбите вокруг Земли, меньше его гравитационной потенциальной энергии, взятой по модулю, в_____  раза.

Решение:

Уравнение движения по круговой орбите вокруг Земли: . Отсюда следует: . Потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли   , т.е. кинетическая энергия в 2 раза меньше гравитационной потенциальной энергии, взятой по модулю.

Шарик массой m упал с высоты Н на стальную плиту и упруго отскочил от нее вверх. Изменение импульса шарика в результате удара равно …

1) 2) 3) 4)

Решение:

На высоте шарик обладает потенциальной энергией . Перед ударом о плиту шарик имеет кинетическую энергию . Используя закон сохранения механической энергии, можно найти скорость шарика, с которой он упал на плиту: , . Изменение импульса шарика при абсолютно упругом ударе равно: . Следовательно, .

12 Экспериментатор, стоящий на неподвижной скамье Жуковского, получает от помощника колесо, вращающееся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . Если экспериментатор повернет ось вращения колеса на угол , то он вместе с платформой придет во вращение с угловой скоростью . Отношение момента инерции экспериментатора со скамьей к моменту инерции колеса равно … Решение:

Воспользуемся законом сохранения момента импульса: . Векторы момента  импульса системы    и  до поворота и после поворота оси вращения колеса равны:  и   , где  и ,  и  – моменты инерции и векторы угловых скоростей человека со скамьей и колеса соответственно. Следовательно, , а в проекциях на вертикальную ось: . Знак минус показывает изменение направления  момента импульса колеса при повороте его оси вращения на угол . Из последнего уравнения находим отношение момента инерции тела человека вместе со скамьей к моменту инерции колеса: .

13 Шар и полая сфера, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости этих тел одинаковы, то …