Решение:
Cкорость
изменения величины момента импульса
относительно какой-то неподвижной оси
равна величине суммарного момента
внешних сил относительно этой оси, т.е.
где
–
величина момента импульса,
–
величина момента силы.
Вычислив
производную от функции, характеризующей
зависимость величины момента импульса
от времени, получим зависимость величины
момента силы от времени.
.
Графиком этой функции является
убывающая ветвь параболы.
6
Тонкий
обруч радиусом 1 м, способный свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси,
проходящей через точку О перпендикулярно
плоскости рисунка, отклонили от вертикали
на угол
и
отпустили. В начальный момент времени
угловое ускорение обруча равно …
1)
2)
3)
4)
Решение:
Момент
силы тяжести относительно оси, проходящей
через точку О, равен
,
где 
радиус
обруча и плечо силы. Момент инерции
обруча относительно оси, проходящей
через центр тяжести (точку С), равен
;
а момент инерции обруча относительно
оси, проходящей через точку О, найдем
по теореме Штейнера:
.
Используя основной закон динамики
вращательного движения твердого тела
вокруг неподвижной оси, можем определить
угловое ускорение: 
.
7
Тонкостенная трубка и кольцо, имеющие
одинаковые массы и радиусы, вращаются
с одинаковой угловой скоростью. Отношение
величины момента импульса трубки к
величине момента импульса кольца равно
…
Решение:
Величина
момента импульса тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, определяется
по формуле
,
где 
момент
инерции тела относительно заданной
оси,
угловая
скорость. Момент инерции тонкостенной
трубки равен
;
момент инерции кольца, имеющего такую
же массу и радиус, равен моменту инерции
трубки, то есть 
.
Отношение величин моментов импульсов
трубки и кольца равно:
.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
8
Находясь на расстоянии
,
по направлению к Луне летит метеорит,
скорость которого
.
Для
расчета минимального прицельного
расстояния
,
при котором метеорит не упадет на
поверхность Луны, используют законы
сохранения механической энергии и
момента импульса. Выберите из предложенных
вариантов верную запись этих законов.
Радиус
и
массу
планеты
Луна, гравитационную постоянную
,
скорость метеорита вблизи поверхности
Луны
считать
известными.
Решение:
Метеорит
массой
должен
двигаться по гиперболической орбите,
касающейся поверхности Луны в точке
.
При
движении по этой траектории выполняется
закон сохранения механической
энергии:
где
–
скорость метеорита вблизи Луны.
Действительно,
метеорит приближается к Луне под
действием силы тяготения. Работа этой
силы является мерой увеличения
кинетической энергии метеорита (скорость
метеорита увеличивается
)
и одновременно мерой уменьшения его
потенциальной энергии от 0 в точке
до
в
точке
.
Луна из-за большой массы в процессе
взаимодействия будет оставаться в
покое, а вследствие равенства нулю
момента силы притяжения относительно
центра Луны момент импульса метеорита
относительно центра Луны будет
сохраняться:
,
где
и
–
плечи вектора импульса метеорита вдали
от Луны и в момент наибольшего сближения
относительно центра Луны соответственно.
Итак, для расчета минимального прицельного
расстояния
используется
система уравнений:
9 В
случае действия на тело центральной
силы радиус-вектор, проведенный к нему
из центра, описывает в равные промежутки
времени равные площади. (В этом, собственно,
и состоит по отношению к движению планет
второй закон Кеплера.) Если в начальный
момент расстояние от планеты до Солнца
,
скорость
,
угол между скоростью планеты и
радиус-вектором
равен
,
то за время
радиус-вектор,
проведенный от Солнца к планете, опишет
площадь
…
