4.1Построение
поверхностей
Очень большое значение для реализации объемного геоме
трического моделирования имеет построение поверхностей.
Поверхности, как и линии, являются математическими абстрак
циями, необходимыми для моделирования объемных объектов.
В свою очередь поверхности описываются с помощью скаляр
ных величин, векторов, линий или порождаются другими по
верхностями.
В общем случае математическая модель поверхности включа
ет в себя функциональную зависимость радиус-вектора R=f(u,v)
от параметров поверхности и двухмерную область изменения па
раметров и и v. Взаимодействие с математической моделью по
верхности происходит аналогично общению с кривой. Мы об
ращаемся к функциям поверхности с некоторыми значениями
двух ее параметров и в качестве ответа получаем геометрическую
информацию о поверхности в точке, соответствующей данным
значениям параметров [12] (рис. 4.1.18).
I/
Раздел 4. Компьютерная графика и геометрическое моделирование
ЕСЛИ такие элементы, упрощенно моделирующие поверх
ность, имеют форму треугольников (простейшая плоская фи
гура), то такую поверхность называют триангуляционной. Три
ангуляция (рис. 4.1.276), которая может рассматриваться как
простейший (и поэтому экономичный) способ поверхностного
моделирования, является достаточно популярным приемом при
решении многих инженерных задач. Например, триангуляция
широко применяется в геодезии для моделирования рельефа
местности, а плоскогранные кусочные поверхности часто ис
пользуются в компьютерной графике и в алгоритмах закраски
изображений.
4.2. Геометрическое моделирование объемных тел
Точки, линии и поверхности являются математическими аб
стракциями, поскольку хотя бы один размер у них равен нулю.
Реальные объекты всегда имеют определенный объем. Твердое
тело содержит внутренний объем, ограниченный внешней по
верхностью тела. Такое представление позволяет определять
объем изделия, его массу, моменты инерции, центр тяжести
и т.п. Эти параметры зачастую являются критериями оптималь
ности при оценке эффективности конструкции изделия и необхо
димы для инженерных расчетов и проектирования технологии.
Геометрические объекты, у которых все размеры ненулевые,
принято называть твердотельными, а моделирование таких тел
называется твердотельным.
В процессе твердотельного моделирования также сначала
строятся поверхности, разделяющие трехмерное пространство
на части. Однако в отличие от чисто поверхностного моделиро
вания при этом необходимо однозначно установить внутреннюю
и внешнюю части поверхности и проверить, чтобы все поверхно
сти составляли при этом замкнутое внутреннее пространство без
щелей и разрывов. Кроме того, твердые тела могут объединяться
или вычитаться, образуя самые замысловатые формы.
Необходимость численного расчета и анализа замкнутости
и целостности объемных моделей выступает основной отличи-
168
4.2. Геометрическое моделирование объемных тел
тельной особенностью твердотельного компьютерного модели-
т
'ования по сравнению с поверхностным моделированием, вы
зывает основные алгоритмические сложности при программной
реализации и требует значительных ресурсов памяти и быстро
действия вычислительных машин. На ранних этапах развития
компьютерного геометрического моделирования это обстоятель
ство существенно тормозило внедрение ЗD-моделей в САПР.
В прошлом веке сама возможность объемного твердотельного
моделирования была отличительным признаком небольшого
числа дорогих («тяжелых») автоматизированных систем, экс
плуатируемых только на специализированных рабочих станци
ях. В настоящее время возможности ЭВМ многократно возросли
и ресурсы даже не самых мощных персональных компьютеров
достаточны для твердотельного моделирования, которое стало
непременным атрибутом САПР всех уровней.
Существует несколько подходов твердотельного моделиро
вания.
Конструктивная твердотельная геометрия (Constructive Solid
Geometry, или использование базовых элементов формы) опериру
ет простейшими объемными примитивами, к которым относят
прямоугольную призму, треугольную призму, сферу, цилиндр,
конус и тор.
Для описания объемных примитивов используют рассмо
тренные ранее аналитические поверхности (см. рис. 4.1.20). Если
замкнуть плоскостями открытые торцы, то аналитические по
верхности легко разделят пространство на две части - свободную
внешнюю и замкнутую внутреннюю. Остается только указать,
с какой стороны поверхности находится объем тела. Например,
если замкнутая поверхность вырезает полость внутри другого
твердого тела, то объем будет находиться снаружи.
Над этими примитивами и полученными из них телами мож
но выполнять математически хорошо отработанные булевы опе
рации и автоматически получить линии их пересечения в ана
литической форме. Конструктивная твердотельная геометрия
позволяет успешно моделировать большинство промышленных
Деталей. Этот подход гарантирует построение правильных твер
дых тел и покрывает 60-70% потребностей моделирования, но
оставшаяся часть требует использования поверхностей.
169
