3 . 2 . О б ш а я с х е м а компьютерной реализации м к э
Имея математический аппарат для получения матриц жёстко
сти конечных элементов, зная методы суммирования жесткостей
элементов в глобальную матрицу жесткости всей конструкции,
а также освоив правила наложения граничных условий, можно
производить анализ напряженно-деформированного состояния
машиностроительных изделий любого размера и самой сложной
формы. Теоретически, соотношения метода конечных элемен
тов можно использовать даже в аналитических расчетах, выпол
няемых вручную. Но с увеличением числа элементов, трудоем
кость вычислений растет в геометрической прогрессии. Поэтому
практическое применение МКЭ стало возможным лишь с появ
лением высокопроизводительных электронно-вычислительных
машин.
Схему применения методов инженерного анализа в литерату
ре по М К Э часто разделяют на три больших стадии: препроцес
сирование, процессирование и постпроцессирование.
108
- таблица данных об узлах, включающая координаты узлов,
узловые силы и степени свободы;
— таблицы данных об элементах, которые составляются для
каждого типа элементов и включают информацию о номерах
узлов, принадлежащих каждому элементу, его жесткостных ха
рактеристиках: толщинах, поперечных сечений и свойствах вы
бранного конструкционного материала.
Второй этап — процессирование может производиться авто
матически с помощью компьютерной программы, называемой
специалистами по МКЭ, - процессором, или решателем (solver).
С помощью МКЭ-процессора автоматически формируются ма
трицы жесткостей для всех элементов, собираются в глобальную
матрицу жесткости конструкции. Решается система линейных
уравнений (СЛАУ), в результате чего определяются неизвестные
перемещения для всех узлов модели. По заданию оператора ав
томатизированной системы уже на этом этапе могут вычислять
ся компоненты напряжений в элементах и другие интересующие
разработчика параметры изделия. Размер глобальной матрицы
жесткости сложных объектов и, соответственно, размерность
СЛАУ, в этих задачах достигает сотен тысяч и даже многих мил
лионов неизвестных, что приводит к необходимости реализации
сложных алгоритмов вычислений и использовании многоуров
невой памяти ЭВМ. Поэтому на этапе процессирования в со
и м е н н ы х CAE-пакетах высокого уровня применяются такие
компьютерные новации как параллельные и конвейерные вычис
ления, доступные только для суперкомпьютеров и кластеров ЭВМ.
Потребное время расчетов по МКЭ существенно сокращается при
109
Раздел 3. Инженерный анализ и компьютерное моделирование
использовании многопроцессорных и болышеразрядных ком
пьютеров. Например, при применении возможностей 64 разряд
ных программ на персональных компьютерах.
Постпроцессирование является не самым затратным по вы
числениям и трудоемкости, но самым ответственным, и в значи
тельной мере чисто человеческим этапом инженерного анализа.
Собственно сам анализ только здесь и начинается. Формально
постпроцессирование заключается в обработке и визуализации
результатов расчетов конечноэлементной модели. Формируются
таблицы отчетов, строятся графики и диаграммы. На данном эта
пе широко используются средства интерактивной компьютерной
графики, которая при обработке результатов расчетов выступает
в роли главного инструмента, поскольку автоматизирует создание
разнообразных графических картин, необходимых специалисту
для принятия итоговых выводов и проектных решений.
Только обоснованные выводы и профессиональные инже
нерные решения, принятые на данном этапе работ, могут как
технически, так и экономически оправдать все многочисленные
затраты на моделирование. Но выводы и принятие решений —
уже интеллектуальная задача, которую в состоянии выполнить
только профессионально подготовленный в своей предметной
области, обученный и тренированный специалист.
Для пояснения некоторых практических вопросов примене
ния технологий компьютерного моделирования в инженерных
расчетах, рассмотрим более подробную схему анализа силовых
конструкций по методу конечных элементов на ЭВМ. Необхо
димо сразу оговориться, что алгоритмы и процедуры, исполь
зуемые в промышленных программных продуктах, предназна
ченных для комплексного решения инженерных задач, могут
быть более разветвленными и насыщенными дополнительными
функциями.
1. Идеализация и формализация инженерной задачи. На данном
этапе необходимо принять и обосновать допущения, присут
ствующие при любом моделировании объективной реальности.
Идеализация — это трудноформализуемый интеллектуальный
процесс, в результате которого специалист переходит от реаль
ной физической системы к некой упрощенной модели системы.
Причем модель должна формироваться в соответствии с постав-
110
3.2. Общая схема компьютерной реализации МКЭ
ленными целями и имеющимися средствами решения инженер
ной задачи.
Данный процесс называется идеализацией, поскольку не
только в модели, но и даже в самой постановке задачи выделяют
существенные и отметают второстепенные факторы. Конструк
ция или процесс очищаются от многих деталей и частностей
и существенно абстрагируются от физической реальности. Для
правильного выполнения идеализации применительно к особен
ностям метода конечных элементов в подавляющем большин
стве технических задач требуется обязательное участие человека,
обладающего специальными знаниями и навыками.
Прежде всего, анализируются так называемые граничные усло
вия. В классической постановке задач механики граничные условия
могут быть двух типов: кинематические граничные условия и силовые
граничные условия. Например, заделка или шарнирное опирание
представляют собой существенные кинематические граничные усло
вия, наложенные на прогиб или продольные перемещения объек
та. К естественным граничным условиям в механических приложе
ниях МКЭ относят условия, наложенные на различные внешние
силовые факторы: распределенные и сосредоточенные силы, мо
менты, массовые нагрузки и пр. Отдельно учитываются смешанные
граничные условия, когда в одной точке тела одновременно заданы
и компоненты перемещений, и силовые факторы. Например, такие
условия назначаются при моделировании симметричных задач.
В междисциплинарных приложениях МКЭ, например, при
учете температурных напряжений при расчете на прочность на
значаемые граничные условия существенно разнятся и зависят
от особенностей и целей решаемых задач.
2. Дискретизация объекта моделирования. На этом этапе про
изводится разделение объемов и частей изделия на конечные
элементы, или, как говорят в случае использования автоматизи
рованных процедур, — производится генерация сети конечных
элементов. Объемная геометрическая модель разбивается на ко
нечные элементы с границами, аппроксимируемыми линейны
ми или более сложными функциями координат. Для поверхност
ных моделей популярными элементами выступают плоские или
криволинейные треугольники и четырехугольники, для объема -
тетраэдры и кубообразные элементы.
111
3.2. Обшая схема компьютерной реализации МКЭ
диагональ матрицы заносится большое число, соответствующее
степени жесткости закрепления.
ности разбиения в значительной мере зависит погрешность
расчетов. При неудачной дискретизации погрешность будет
слишком большой (выходящей за пределы точности, предусмо
тренной при идеализации), что может приводить к ошибочным
результатам и выводам инженерного анализа.
3. Назначение закреплений и опираний конструкции. При этом
должны быть заданы узловые параметры граничных условий.
Для моделирования заданных видов закреплений и опор ограни
чиваются определенные степени свободы узлов сети.
Для пространственных конечных элементов степенями сво
боды являются перемещения в направлении осей локальной си
стемы координат элемента. Для конечных элементов типа балок
и оболочек к трем перемещениям в каждом узле добавляются по
три угла поворота относительно осей.