Раздел 3, Инженерный анализ и компьютерное моделирование

сети, которыми снабжены все современные CAE-системы, чем

Таблица 3.2.

Примеры «Проблемно-ориентированных» конечных элементов

Применимость конечных элементов зависит не только от их

формы и количества координат. В качестве узловых значений

в конечных элементах могут фигурировать не только линейные

перемещения, но и углы поворотов, как показано для одного из

узлов на рис. 3.116. Например, в рассмотренном ранее стерж­

невом элементе моделируется только продольное перемещение

стержня при растяжении-сжатии, а для описания работы эле­

мента на изгиб необходимо учитывать угол поворота попереч­

ного сечения, выражаемый производной от перемещения по

продольной координате. В первом случае элементы относятся

к классу лагранжевых элементов; во втором случае — к классу

эрмитовых элементов. Названия этих двух больших классов эле­

ментов происходят от имен полиномов Лагранжа и Эрмита, ш и ­

роко используемых в прикладной математике для интерполяции

функций по узловым значениям.

Теоретически элементы высокого порядка являются более

точными и предпочтительными. Но на практике бывает проще

и удобнее разбить конструкцию на большое число линейных эле­

ментов простой формы, используя автоматические генераторы

106

использовать многоузловые элементы, требующие для построе­

ния сетки значительной работы, выполняемой пользователем

вручную [1].

Очевидно, что при увеличении подробности разбиения объ­

екта на конечные элементы должна уменьшаться погрешность

моделирования, и в пределе стремиться к нулю. Но при этом так­

же в бесконечность устремляются и потребные вычислительные

затраты. Под сходимостью метода конечных элементов понима­

ется приближение решения к точному, при измельчении сетки

конечных элементов. Откуда следует, что инженеру при исполь­

зовании МКЭ всегда приходится отыскивать компромисс между

точностью и трудоемкостью.

Другим важным понятием, используемым в качестве характери­

стики применимости конечных элементов, выступает их совмест­

ность. Под совместностью конечных элементов понимают достиже­

ние непрерывности моделируемых полей в межэлементной зоне.

Самое простое объяснение понятия совместности иллюстрирует

нарушение непрерывности конечноэлементной модели по пере­

мещениям, как это показано на рис 3.12. Действительно, если про­

изводить расчет деформаций отдельно для каждого элемента, то

в итоге, при рассмотрении общего деформированного состояния

конструкции, границы элементов могут расходиться, образуя щели,

как это показано для плоских элементов на рис 3.12 а, или, напро­

тив — накладываясь друг на друга. Также в случае изгиба форма эле­

ментов должна изменяться, как это показано пунктиром на рис 3.126,

а не оставаться прямолинейной. Но поскольку элементы соедине­

ны между собой только в узлах, в этом случае при деформировании

края соседних элементов могут перемещаться независимо друг от

друга. Так как в реальном объекте такие явления не происходят,

считается, что и в компьютерной модели это недопустимо.

Однако учет совместности требует особого подхода. В ряде

научно-технических задач, в которых важна точность определе­

ния поля деформаций, конечно, совместность должна соблю­

даться. Но оказалось, что совместные элементы сильно завышают

жесткость при моделировании изгиба. Поэтому в современных

МКЭ-пакетах для прочностных расчетов успешно применяются

несовместные элементы.

107

3.2. Обшая схема компьютерной реализации МКЭ

Препроцессирование связывается с подготовкой исходных дан­

ных для расчета. Наряду с разбивкой исследуемого объекта на

конечные элементы, нагрузки должны быть приведены к систе­

ме узловых сил. А закрепление и опирание конструкции сводят­

ся к ограничению степеней свободы узлов — устанавливаются

так называемые кинематические ограничения. Эти трудоемкие

процедуры моделирования не удается полностью формализовать

и автоматизировать.

В результате препроцессирования собственно и создается ко-

нечноэлементая модель, которая хранится в памяти компьютера

в виде следующих таблиц (массивов):

Рис. 3.12. Иллюстрация несовместности конечных элементов:

а — образование зазора в несовместных элементах;

б — искажение формы четырехугольного элемента при изгибе

Очевидно, что создавая конечноэлементную модель, кон­

структор должен хорошо представлять, какое влияние на точ­

ность расчетов оказывает искажение форм элементов.