Раздел 3. Инженерный анализ и компьютерное моделирование

Раздел 3. Инженерный анализ и компьютерное моделирование

чаще всего интегрируются как подсистемы в состав полномас­

повышает качество технологического проектирования и эффек­

тивность разрабатываемых процессов.

Часто называемое компьютерным инжинирингом, физиче­

ское моделирование и расчеты на ЭВМ не только дают возмож­

ность отказаться от создания дорогостоящих материальных про­

тотипов, но и, что самое важное, обеспечивают принятие точных

и правильных инженерных решений. При этом сокращаются

риски появления технических ошибок и уменьшаются сроки

и затраты при постановке и внедрении новых изделий на произ­

водстве и в эксплуатации.

Одним из самых универсальных методов, используемых в си­

стемах инженерного анализа, является метод конечных элемен­

тов (МКЭ).

Метод конечных элементов разработан в середине прошло­

го века специалистами, работающими в областях строительной

механики и теории упругости. К настоящему времени во всех

промышленно развитых странах известными компьютерными

фирмами и даже отдельными авторскими коллективами раз­

работано большое количество программных реализаций МКЭ.

Многие из них отличаются оригинальными типами конечных

элементов, уникальными подходами к организации интер­

фейсов, использованием эффективных методов оптимизации

и проектирования.

В 70—90 годы прошлого века в нашей стране были созданы

и весьма результативно использовались такие программные

комплексы, как ДИАНА, Лира, МАРС, РИПАК [14, 51, 25]. Сре­

ди разработчиков универсальных CAE-систем в настоящее вре­

мя выделяются три ведущих мировых лидера, брендами которых

(наиболее известными именами продуктов) являются:

- «ANSYS» (ANSYS, Inc.) [97];

- «NASNRAN» (MSC Software Corporation) [142];

- «COSMOS» (Structural Research and Analysis Corp) [119].

Фирма-разработчик программ серии COSMOS сейчас при­

надлежит корпорации DASSAULT [95], а её заглавный комплекс

интегрирован в САПР SolidWorks [152].

CAE-системы могут применяться самостоятельно — в спе­

циализированных организациях и отделах инженерного анализа

(например, отделы прочности в машиностроительных КБ), но

88

штабных САПР [95, 163]. Как утверждают опытные инженеры-

прочнисты, не имеет существенного значения, какой из перечис­

ленных выше пакетов программ использовать, чтобы произвести

набор типовых расчетов по МКЭ [51]. Поскольку все современ­

ные универсальные CAE-системы реализуют единообразный ма­

тематический аппарат, то главным критерием выбора конкрет­

ного программного обеспечения, чаще всего, представляется не

вычислительная эффективность программ, а личные предпочте­

ния практический опыт и удобство работы пользователя.

Теоретические основы и программные приложения МКЭ глу­

боко и подробно описаны в многочисленныхнаучно-технических

публикациях, монографиях и учебниках, например [6, 15,18, 21,

25, 40, 51], поэтому в данной книге приводятся лишь самые не­

обходимые сведения, важные для понимания как основных воз­

можностей, так и ограничений и проблем этого популярного

метода. Определяется и поясняется роль и место МКЭ в общем

комплексе задач компьютерного моделирования машинострои­

тельных объектов и изделий, вводятся термины и определения

из области инженерного анализа, используемые в последующих

главах книги.

Несколько больше внимания, из необозримого числа воз­

можностей и направлений приложения М К Э , мы уделим

практическим вопросам применения конечноэлементного

анализа для моделирования напряженно-деформированного

состояния конструкций, как наиболее популярной и часто

используемой инженерами-машиностроителями области рас­

четов. А также проиллюстрируем возможности применения

инженерного анализа на ранних стадиях автоматизированного

проектирования на примере оптимизации структур силовых

(несущих) конструкций. Кстати, задачи поиска оптимальных

конструкций и технологических процессов неразрывно связа­

ны с инженерным расчетами, что в значительной мере обосно­

вывает актуальность и эффективность применения методов

компьютерного моделирования и самого инженерного анализа

[15,25,51,64].

89

принципы и соотношения численных методов инженерного анализа

Результатом процесса дискретизации является дискретная мо-

ель Причем дискретизации могут подвергаться как простран­

ственные координаты, так и время. Соответственно, выделяют

пространственную дискретизацию и временную. Часто методы

моделирования, основанные на применении дискретизации,

называют сеточными методами. В математическом отношении

применение сетчатой дискретизации позволяет перейти от диф­

ференциальной краевой задачи к разностной, приводящей, в ко­

нечном итоге, к формированию и решению системы линейных

алгебраических уравнений.

В настоящее время существует и продолжает разрабатываться

целая серия методов инженерно-физического моделирования,

использующая идеи пространственной дискретизации, в том

числе такие как:

—

—

—

—

—

—

метод конечных разностей (МКР);

метод конечных объемов (МКО);

метод граничных элементов (МГЭ);

спектральный метод;

метод свободных сеток;

метод конечных элементов (МКЭ).

Популярный в свое время метод конечных разностей, а также

претендовавший на универсальность метод граничных элемен­

тов (граничных интегральных уравнений) сейчас занимают до­

статочно узкие ниши, ограниченные исследовательскими или

специальными задачами. М К Э занял лидирующее положение

благодаря возможности моделировать широкий круг объектов

и явлений. Абсолютное большинство машиностроительных из­

делий, их деталей, узлов и конструкций, изготовленных из са­

мых разнообразных материалов, имеющих различную структуру

и состав, могут быть смоделированы и рассчитаны посредством

МКЭ [15, 18, 25, 51]. Некоторые признанные авторитеты в об­

ласти МКЭ даже утверждают, что все методы аппроксимации,

используемые при решении описываемых дифференциальными

Уравнениями инженерно-физических задач, по существу состав­

ляют единое целое и могут быть сведены к «Обобщенному мето­

ду конечных элементов» [15].

В своей ставшей уже классической книге [40] Дж. Оден дает

следующее определение: «Метод конечных элементов можно

90

91

трактовать как систематический способ аппроксимации непре­

рывной функции дискретной моделью, представляющей собой

множество значений заданной функции в некотором конечном

числе точек области ее определения в совокупности с кусочными

аппроксимациями этой функции на некотором конечном числе

подобластей». Эти подобласти называются конечными элементами.

То есть в основе метода конечных элементов лежит идея дис­

кретизации сложного объекта с целью решения уравнений меха­

ники сплошной среды в предположении, что эти соотношения

выполняются в пределах каждой из элементарных областей. На

рис. 3.1 приведен пример дискретизации непрерывной функ­

ции, отражающей график изменения температуры Т(х) в метал­

лическом стержне длиной L, нагреваемом в точке 0 начала систе­

мы координат. Область определения нелинейной функции Т(х)

вдоль оси х разделена на три линейных отрезка. Прямолинейные

отрезки (1),(2),(3) соединяются между собой в узлах (1,2,3,4), об­

разуя ломаную линию, аппроксимирующую кривую Т(х).

Кусочные функции, описывающие изменение моделируемой

функции в пределах каждого конечного элемента, могут быть

как линейными, так и нелинейными, а размеры элементов могут

быть самыми различными. В качестве примера на рис 3.2 при­

ведена задача моделирования изгиба балки v = f(x), нагруженной

силой Р. В МКЭ непрерывная по своей природе балка модели^

руется набором конечных элементов, соединенных в узлах. Если

известны перемещения оси балки в узлах, то может быть опреде­

лена кусочно-линейная функция vj =f(x.), где j — номер конеч­

ного элемента. При использовании элементов c нелинейными

кусочными зависимостями на элементах суммарная аппрокси­

мирующая функция будет более точной.

Модель, набранная из поверхностных или объемных конеч­

ных элементов, может достаточно точно отражать геометрию из­

делия. Как, например, составленная из треугольных элементов

модель пластины с отверстием полностью заполняет очерчен­

ные границы (на рис. 3.3, с учетом симметрии, смоделирована

четверть конструкции). Каркассируемые конструкции описыва­

ются более схематично. Так, например, в модели фермы, при­

веденной на рисунке 3.4, стержни и соединяющие их шарниры

показаны условно, без описания их формы.

92

Кстати, ферменные конструкции очень удобны для иллюстра­

ции и изучения методологии конечноэлементного моделирова­

ния. Ферма изначально состоит из дискретных стержней — «эле­

ментов», которые соединены между собой в шарнирах - «узлах».

Таким образом, разбиение на элементы уже предопределено са­

мой конструкцией. Кроме того, фермы являются одними из наи­

более эффективных силовых конструкций в весовом отноше­

нии, при этом их силовую работу достаточно легко представить

и описать, что делает ферменные конструкции методически

незаменимыми для обсуждения методов инженерного анализа

и оптимизации.

Рассмотрим общий случай из области расчета силовых кон-

струкций, когда на произвольное упругое тело действует система

из n сил (рис. 3.4), которую представим матрицей-вектором:

93

та, рассмотрим на примере плоского треугольного конечного

элемента (рис. 3.8).

В пределах каждого конечного элемента назначаются свой­

ства ограничиваемого им участка объекта (это могут быть, на­

пример, характеристики жесткости и прочности материала,

плотность и т.д.) и описываются поля интересующих величин

(применительно к механике твердого деформируемого тела, —

это перемещения, деформации и напряжения).

Параметры определяются в узлах элемента, а затем вводят­

ся интерполирующие функции, посредством которых соответ­

ствующие значения можно вычислить в любой точке внутри

элемента или на его границе. Задача математического описа­

ния конечного элемента сводится к тому, чтобы определен­

ным образом связать действующие в узлах факторы. В механи­

ке сплошной среды это, как правило, перемещения и усилия.

Примеры интерполяционных соотношений, описывающих

перемещения внутри области определения конечного элемен-

98

99

— существенно завышают жесткость конструкции, что приво­

дит к недооценке перемещений и напряжений;

— имеют резкие скачки параметров на границах;

— увеличивают объем исходной информации, необходимой

для создания конечноэлементной модели изделия.

Поэтому профессиональными прочнистами используются

более сложные элементы. При расчетах плоских конструкций

более точные результаты дают четырехугольные мембранные

элементы с нелинейным полем перемещений, например, изо-

параметрический элемент (рис 3.9 а), предложенный Зенкевичем

[15], перемещения на котором аппроксимируются полиномами

вида:

u=а

0

+ а х + а у + а ху,

1 2 3

v=b + b x + b y + a xy.

g

I

2

3

В

изопараметрических

конечных элементах

аппроксимирую­

щие функции, описывающие перемещения внутри элемента,

идентичны функциям, описывающим геометрию элемента, так

называемым функциям формы элементов.

Однако у элемента Зенкевича также есть свои особенности,

которые необходимо учитывать в процессе моделирования. На­

пример, при попытке разбить четырехугольными элементами

криволинейные обшивки очень сложно добиться, чтобы все че­

тыре угла попали на моделируемую поверхность, что приводит

к ощутимым погрешностям моделей. Поэтому были предложе­

ны составные четырехугольные элементы, матрица жесткости

которых набирается из нескольких треугольников, из двух, как

на рис. 3.9б, или даже четырех, как показано на рис. 3.96, г. По­

следний получен наложением четырех треугольников половин­

ной толщины, которые образованы двойным делением четыре­

хугольника его диагоналями. Этот прием позволяет устранить

геометрическую изотропию (различные свойства конечноэле­

ментной модели по осям), присущую конечноэлеметной сети,

составленной из треугольников.

Простейший и поэтому самый распространенный объемный

конечный элемент имеет форму тетраэдра. На рис 3.10 узловые

перемещения, соответствующие осям глобальной системы коор­

динат x, у, z, обозначены: u, v, w.

100

101

3.1.1.

Классификация и применимость конечных элементов

Все многообразие конечных элементов (КЭ), которые ис­

пользуются для инженерно-физического моделирования ма­

шиностроительных конструкций и процессов, можно условно

разделить на следующие две большие группы: «Классические»,

к которым относятся самые простые и универсальные элемен­

ты, и «Проблемно-ориентированные», предназначенные для

решений специальных задач. В разряд классических будем от­

носить элементы, построенные на классических принципах

метода перемещений, которые составляют типовой набор КЭ

для создания моделей и используются в различных предметных

областях. Такие КЭ составляют основу библиотеки конечных

элементов практически любой промышленной CAE — системы

(таблица 3.1).

Применение классических элементов для моделирования

машиностроительных изделий легко осваивается начинающи­

ми пользователями и успешно автоматизируется в прикладных

САПР. Как правило, автоматические генераторы конечноэле-

ментных сеток рассчитаны на использование в моделях класси­

ческих элементов. Они часто применяются в подсистемах инже­

нерного анализа, поставляемых в составе комплексных САПР

для типовых автоматизированных рабочих мест конструкторов и

технологов.

Для использования в специализированных отделах и КБ раз­

работаны проблемно-ориентированные элементы, характерные

для конструктивных частей изделий из различных отраслей ма­

шиностроения. Например, авиастроение, автомобилестроение,

двигателестроение, кораблестроение и т.д. Или для решения

узкоспециальных задач: элемент с трещиной, индикаторный

элемент с нулевой жесткостью и т.д.

Поскольку для описания назначения и возможностей таких

элементов требуются специфические для отдельных взятых от­

раслей знания и термины, которые не вошли в данный учебник,

в качестве примеров приведем только несколько характерных

элементов, собранных в таблицу 3.2.

104

105

3 1 Основные принципы и соотношения численных методов инженерного анализа