6.Формализация физических характеристик среды обитания

6.1.Дискретные и непрерывные множества

Среда обитания ЧЕЛОВЕКА включает в себя три основных составляющих, тесно связанных между собой: природная среда, техногенная среда, социальная среда.

ЧЕЛОВЕК постоянно взаимодействует со своей средой обитания, анализируя и изменяя ее (далеко не всегда лучшим образом). Информатика (сначала интуитивная, затем превратившаяся в науку) помогает решать проблемы, которые возникают у ЧЕЛОВЕКА в процессе его взаимодействия со средой обитания.

Уже на первых шагах становления сознания у ЧЕЛОВЕКА возникает необходимость решать множество информационно-вычислительных задач: определить суммарное количество предметов в нескольких множествах однородных предметов; сравнить количество предметов в нескольких однородных множествах; определить, насколько длина копья у одного воина больше длины копья у его противника, определить пройденное за определенное время расстояние при известной скорости движения и т.д. и т.п.

Разнообразие реальных сущностей, для которых требуется решение подобных задач, приводит к пониманию необходимости абстрагировать количественные характеристики разнородных реальных сущностей в понятии "число" и "запись числа". Способы конструктивного представления значений количественных характеристик реальных сущностей в виде символьных записей числа воплощаются в различных системах счисления. Говоря современным языком, записи чисел являют собой данные, обозначающие присущую явлениям, объектам и процессам реального мира информацию.

Революционным шагом в развитии вычислительной информатики явилось изобретение алгоритмов выполнения четырех арифметических операций над записями чисел, представленных в позиционной системе счисления. Благодаря этому появилась возможность вычислять априори неизвестные характеристики сущностей (представленных в численном виде) на основании априори известных характеристик этих сущностей (также представленных в численном виде). Еще раз подчеркнем, что вычисления выполняются вне зависимости от физической сущности артефактов.

В основе абстрагирования артефактов лежит понятие множества. Вообще говоря, различаются два типа множеств: реальное множество и абстрактное множество.

Реальное множество – совокупность сущностей одинаковых с некоторой точки зрения. Например, множество яблок в корзине, множество студентов в группе и т.д. Единственное требование – каждая сущность, входящая в множество, уникальна, т.е. отличается от остальных сущностей, образующих множество. Основная характеристика множества – количество сущностей, его образующих.

Абстрактное множество определяется как совокупность абстрактных элементов вне зависимости от их реального воплощения. Например, корзина, содержащая 25 яблок, и группа из 25 студентов абстрагируются одинаковым абстрактным множеством, состоящим из 25 различных элементов. Количество элементов в абстрактном множестве – мощность множества. Таким образом, абстрактное множество имеет всего одну характеристику – мощность, которая отражает такую общность различных реальных множеств как количество образующих эти множества элементов.

Линейно-упорядоченное абстрактное множество – такое множество M на котором определено отношение < следования элементов. Более подробно, если mM и m'M, и m  m' то либо m' следует за m, т.е. (m<m'), либо m следует за m', т.е. (m'<m).

Дискретное множество - линейно-упорядоченное абстрактное множество M, в котором для каждого элемента mM существует "непосредственно следующий элемент". Элемент m' непосредственно следует за элементом m, если в множестве M нет элемента m'' для которого справедливо: m<m''<m'. Образно говоря, между элементами mM и m'M нет третьего элемента m''M. Дискретное множество либо конечно, либо счетно.

Примером дискретного множества является натуральное семейство абстрактных множеств, которое конструируется следующим образом.

Мощность множества – количество элементов, образующих это множество.

Введем в рассмотрение два специфичных абстрактных множества: пустое множество и одноэлементное множество. Линейно – упорядоченное семейство A абстрактных множеств выводится из пустого множества следующим образом. Начало вывода – пустое множество. Добавив к пустому множеству один элемент, получим одноэлементное множество. Пусть в результате вывода получено k- элементное множество. В результате объединения k- элементного множества и одноэлементного множества получается k+1 элементное множество.

В результате такого вывода получается дискретное (счетное) линейно-упорядоченное семейство абстрактных множеств – натуральный ряд абстрактных множеств (Рис.1), котором мощность каждого следующего множества отличается от мощности предыдущего множества на один элемент.

Рис. 1. Натуральный ряд абстрактных множеств

Примечание. Предполагается, что любые два абстрактных множества натурального ряда не содержат одинаковых элементов.

Непрерывное множество - линейно-упорядоченное абстрактное множество M, в котором для любого m'M непосредственно следующего элемента не существует. Более строго, в множестве M для любой пары элементов (m,m') всегда найдется элемент m'' для которого справедливом m<m''<m'. Образно говоря, между элементами mM и m'M всегда находится элемент m''M.

Примером непрерывного бесконечного множества является геометрическая прямая L. Применительно к геометрической прямой можно сформулировать специфическое свойство непрерывного множества: в любой, сколь угодно малой окрестности любой точки mL всегда найдется точка m'' L. Это равносильно отсутствию в непрерывном множестве непосредственно следующих элементов.

Дискретное множество можно спроектировать на геометрическую прямую, введя в рассмотрение единичный отрезок прямой и располагая точки проекции на расстоянии единичного отрезка друг от друга (Рис.2.a). Тогда, специфическая особенность дискретного множества M формулируется следующим образом: у проекции любого элемента дискретного множества M на геометрическую прямую L существует единичная окрестность, в которой нет ни одной проекции другого элемента множества M.

Натуральный ряд A абстрактных множеств является дискретным множеством и также может быть спроектирован на геометрическую прямую (Рис.2.b).

Отметим особо, что каждый элемент натурального ряда абстрактных множеств также является дискретным (конечным) множеством.

Рис. 2. Проекция дискретного множества на непрерывное множество L

С каждым абстрактным множеством из A связана его характеристика – мощность множества, т.е. количество элементов, образующих это множество.