13.2.Проблема слов в ассоциативном исчислении

Далеко идущим обобщением проблемы поиска в лабиринте является проблема слов. Если приведенный выше алгоритм справедлив только для конечного лабиринта, то проблема слов, в определенном смысле, трактуется как проблема поиска в бесконечном лабиринте.

Пусть имеется алфавит А- любая конечная последовательность символов - букв. Слово в алфавите А определяется как конечная последовательность символов алфавита.

Опишем теперь процесс преобразования слов, позволяющий из заданного слова получать новые слова. Зададим в алфавите А конечную систему допустимых правил подстановок:

P  Q; L  M; …; S  T (39)

где P, Q, L, M, …, S, T - слова в том же алфавите.

В общем виде правило подстановки записывается в виде:

   (40)

Здесь,  и  - слова в алфавите A.

Любую подстановку () можно применять к слову R в алфавите A следующим способом: если в слове R есть одно или несколько вхождений слова , то любое из этих вхождений может быть заменено словом  и наоборот, если имеется вхождение слова , то его можно заменить словом .

Сказанное выше формализуется в виде двух аксиом подстановки:

ЕСЛИ XY и  ­­  то XY . И наоборот:

ЕСЛИ XY и    то XY

Совокупность всех слов в данном алфавите вместе с системой допустимых подстановок называется ассоциативным исчислением. Термин "ассоциативное исчисление" был введен А.А. Марковым, который также разработал теорию ассоциативных исчислений.

Два слова P1 и P2 называются смежными, если одно из них может быть преобразовано в другое при помощи однократного применения некоторой допустимой подстановки.

Последовательность слов: P, P1, P2, P3,…, Q называется дедуктивной цепочкой.

Два слова R и W называются эквивалентными, если существует дедуктивная цепочка их связывающая.

Пример ассоциативного исчисления.

A = {a, b, c, d, e}

ac ca

ad  da

bc  cb

bd  db

abac  abacc

eca  ae

edb  be

Слово abcde эквивалентно слову cadedb, т.к. существует дедуктивная цепочка смежных слов:

abcde, acbde, cabde, cadbe, cadedb.

Ассоциативному исчислению можно поставить в соответствие бесконечный лабиринт. Любые две вершины графа лабиринта, соответствуют смежным словам и соединяются коридором.

Признак эквивалентности строк - существование пути между площадками.

Используется также специальный вид ассоциативного исчисления - ориентированные подстановки:

 (41)

Ассоциативное исчисление с такими и только такими подстановками называется туэ системой, по имени норвежского математика Акселя Туэ.

Проблема слов в ассоциативном исчислении: для любых двух слов определить эквивалентны они или нет. Эта та же проблема достижимости, которая была рассмотрена в примере с лабиринтом, только лабиринт бесконечный.

Поскольку в любом ассоциативном исчислении содержится бесконечное множество различных слов, проблема эквивалентности представляет собой бесконечную серию однотипных задач, а решение мыслится в виде алгоритма, распознающего эквивалентность или неэквивалентность любой пары слов.

Имеет решение ограниченная проблема слов - применение подстановок не более k раз. Она решается посредством построения всех путей в лабиринте. Для бесконечного лабиринта это неприемлемо.

Таким образом, логическая задача о поиске пути в лабиринте может быть сформулирована на языке ассоциативного исчисления. Иные дедуктивные логические процессы также можно трактовать как ассоциативное исчисление.

Пример. Исчисление высказываний, исчисление предикатов - существуют методы получения всех следствий из данной системы аксиом.

В этом смысле любой процесс вывода формул, математические выкладки и преобразования также являются дедуктивными цепочками в подходящем образом выбранном ассоциативном исчислении.

[Айзерман, Л.А. Гусев и др. Гос. изд-во ф.м. л-ры, М.: 1960]