12.3.Методология моделирования

Развитие формализмов теории функций, математического анализа и алгебры привело в начале XX века к становлению методологии моделирования в самых различных проблемных областях.

Термин модель происходит от латинского слова modulus — «мера, образец». Модель — это сущность, которая заменяет реальный объект исследования. Модель гораздо проще объекта, является в чём-то его подобием и создаётся с определённой целью. Именно от цели исследования зависит, какие свойства реального объекта представляются в модели. Естественно, что при изучении сложных явлений, процессов, объектов не учитываются все их элементы и связи (как правило, и объекты, и явления, и процессы рассматриваются как системы). Модель больше зависит от информационно-логических связей элементов и подсистем моделируемой системы, от связей ее с окружающим миром, чем от конкретной природы и исполнения модели.

Вероятно, первыми моделями, которые замещали реальные объекты, были языковые знаки. Они возникли в ходе развития человечества и постепенно превратились в разговорный язык. Первые наскальные рисунки (петроглифы), имеющие возраст в 200 тысяч лет, были графическими моделями, которые изображали бытовые сцены, животных и сцены охоты. Следующим этапом развития моделирования можно считать возникновение систем счисления и числовых знаков.

Моделирование получило развитие ещё в Древней Греции. В V—III вв. до н. э Птолемей создал геометрическую модель Солнечной системы, а Гиппократ использовал для изучения строения глаза человека глаз быка (как физическую модель глаза).

Моделирование – это опосредственное практическое или теоретическое исследование объекта при котором изучается не сам объект, а заменяющая его сущности. Подразумевается, что модель в достаточной степени адекватна объекту-прототипу, что позволяет на основании исследования ее поведения судить о поведении объекта-прототипа.

Общим свойством всех моделей является их способность, так или иначе, отображать действительность.  В зависимости от того, какими средствами это отображение осуществляется, возникает большое разнообразие моделей, а вместе с ним и проблема классификации моделей.

Физическое моделирование (макетирование) имеет место, когда основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики "оригинала" представляются сущностью одинаковой с объектом прототипом природы. Характерный пример, когда планер проектируемого самолета в уменьшенном масштабе реализуется в виде деревянной модели. Обдувая такую модель в аэродинамической трубе, изучают ее аэродинамические свойства. При изготовлении физической модели соблюдают критерий подобия – пропорциональное уменьшение всех размеров "оригинала", что обеспечивает адекватное поведение модели и объекта-прототипа.

Аналоговое моделирование, при котором модель и "оригинал" – сущности различной природы, но описываются единым математическим формализмом . Примером могут служить электрические модели, используемые для изучения различных явлений: механических, гидродинамических, биологических и т.д. Например, колебания в электрической цепи, в биологической среде "хищник-жертва", в некоторых химических реакциях описываются одинаковым дифференциальным уравнением второго порядка.

Знаковое моделирование, при котором в роли моделей выступают схемы, чертежи, формулы, а также уравнения различных типов. Знаковая модель являет собой математический текст - предложение формального языка описания некоторого класса объектов-прототипов.

Математическое (логико-математическое) моделирование является важнейшим видом знакового моделирования, осуществляемого средствами языка математики и логики. Математические тексты– математические модели и их элементы всегда рассматриваются вместе с определенными преобразованиями (операциями) над ними. Формулы и системы формул, уравнения и системы уравнений – распространенные примеры математических моделей. Подразумевается, что, изучая поведение математической модели, например дифференциального уравнения, можно делать заключения о поведении представляемого этим уравнением объекта – прототипа.

Примечание. Как в случае аналогового, так и математического моделирования используются математические тексты. Однако в аналоговом случае математический текст служит для описания общих свойств как модели, так и объекта-прототипа, а в знаковом случае - математический текст сам является моделью.

Компьютерное моделирование. Современная форма "материальной реализации" знакового (прежде всего, математического) моделирования - это компьютерное моделирование. Компьютер является уникальным по своим возможностям инструментом, который под управлением соответствующей программы превращается в адекватную модель любого объекта-прототипа.

Знаковые модели принято делить на алгоритмические (процедуральные) и декларативные. Процедуральная модель являет собой алгоритм - способ обработки математического текста, представляющего объект-прототип, позволяющий получить новые знания об этом объекте- прототипе.

Пример. Дифференциальное осцилляторное уравнение, моделирующее колебательные свойства физического маятника, относится к классу декларативных математических моделей. Тогда как метод Рунге-Кута решения этого уравнения являет собой алгоритмическую модель физического маятника. Когда реализующая этот метод программа вводится в компьютер, она превращает последний в компьютерную модель физического маятника.

Альтернативой алгоритмической (процедурной) модели служит декларативная модель, которая представляет свойства объекта-прототипа.

Пример. Рисунок физического маятника с указанием длинные его плеча и массы грузика – типичный пример декларативной модели. Дифференциальное осцилляторное уравнение, моделирующее колебательные свойства физического маятника, также относится к классу декларативных математических моделей. Тогда как метод Рунге-Кута решения этого уравнения являет собой алгоритмическую модель физического маятника. Когда реализующая этот метод программа вводится в компьютер, она превращает последний в компьютерную модель физического маятника.

Если говорить про математические модели в виде уравнений, то существуют два способа их решения. Аналитический способ подразумевает представление решения уравнения (системы уравнений) в явном виде, т.е. в виде формул вида y = f*(x). Здесь, f*(x) – элементарная функция, представленная в виде арифметического выражения. Привлекательность аналитического подхода состоит в том, что решение представляет поведение функции в некоторой области, по этой причине такое решение часто называют общим.

Средством получения аналитического (общего) решения уравнения (системы уравнений) является то или иное исчисление, правила которого позволяют в символьном виде преобразовать исходную запись уравнения в запись аналитического решения.

Однако, в большинстве практических случаев уравнение (систему уравнений) записать можно, но способ аналитического решения этого уравнения (системы уравнений) неизвестен, по крайней мере, в настоящее время. В этом случае на первый план выступают численные методы, которые позволяют получить частное решение практически любых уравнений (систем уравнений), но для конкретных начальных/ граничных условий и конкретного набора параметров.

Численные методы для реальных случаев требуют выполнения длинных и сверхдлинных последовательностей действий, образованных четырьмя арифметическими операциями. Особенно это относится к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Подводя итог, можно сказать, что численные вычисления существуют на основании дуализма: декларативная математическая модель (уравнение или система уравнений) и алгоритм ее интерпретации, т.е. решения.

В начале тридцатых годов XX века инженерная человеческая мысль была озабочена изобретением автоматических вычислителей, позволяющих численными методами решать большие системы уравнений. По-видимому не случайно, большинство первых конструкторов компьютеров сделали свою первоначальную карьеру в области методов решения уравнений в частных производных (Сергей Лебедев, Джон фон Нейман, Конрад Цузе). В эти же годы теоретическая человеческая мысль была озабочена математическим обоснованием вычислимости функций, что привело к появлению ряда теоретических моделей вычислений.