11.Формализация рассуждений

11.1.Логика рассуждений

Параллельно с созданием теории и практики автоматизации вычисления функций (решения математических задач) ЧЕЛОВЕК был озабочен разработкой средств автоматизации рассуждений.

Основоположник формальной логики Аристотель (384 г. до н.э. - 322 г. до н.э) разработал свое любимое детище, прославившее его имя в веках, - теорию силлогизмов. Главной своей задачей Аристотель считал выяснение причин получения верного или неверного ответа в процессе спора. А затем – нахождения такого способа спора, при котором из верных посылок всегда следовали бы только верные заключения.

Типичный пример дедуктивного умозаключения приводится ниже.

Все люди смертны /большая посылка/.

Сократ – человек / малая посылка/.

Сократ смертен /заключение, которое выводится из большой и малой посылки/.

При выстраивании дедуктивного умозаключения некоторое свойство переносится с общего случая в частный. Подобные заключения называются дедуктивными умозаключениями.

Не всякие дедуктивные умозаключения являются истинными. Заслуга Аристотеля состоит в том, что он сумел четко сформулировать условия (схемы силлогизмов) при выполнении которых истинность вывода в дедуктивных рассуждениях обеспечивается, если большая и малая посылка верны.

Дедуктивные рассуждения основывались на том, что спорящего надо сначала убедить в истинности большой посылки, а затем, заставив принять малую посылку, подвести его к истинности заключения (рассуждения от общего к частному). Однако, можно поступить иначе: сначала убедить оппонента в истинности ряда малых посылок, а потом сделать заключение в справедливости общего утверждения. Подобное рассуждение, ведущее от частного к общему, принято называть индуктивным.

Строго говоря, индуктивны большие посылки, которые являются обобщением единичных реальных фактов. Например, утверждение: "все люди смертны".

В жизненной практике индуктивные рассуждения встречаются гораздо чаще дедуктивных. Всю свою жизнь мы накапливаем отдельные факты и наблюдения, формируем на этой основе свое представление о мире, его свойствах и закономерностях. Дедуктивная система выступает у нас лишь как результат целой серии индуктивных умозаключений [Поспелов].

11.2.Логические функции и алгебра логики

Аристотель оставался на уровне содержательных умозаключений, что совершенно не устраивало передовые математические умы середины XIX века. Точку в этих сомнениях поставил английский математик и логик Джордж Буль (1815 – 1864)

Задолго до Джорджа Буля немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц (1646—1716) впервые высказал идею о создании науки, которая обозначит все понятия обычной разговорной речи символами и установит некоторую новую алгебру для соединения этих символов. После создания такой науки, по мнению Лейбница, ученые и философы перестанут спорить и перекрикивать друг друга, выясняя истину, а возьмут в руки карандаш и спокойно скажут: «Давайте-ка вычислять!»

Расширив общий метод Лейбница, сформулиро­ванный на 188 лет раньше, Д. Буль в 1854 году зало­жил основу того, что мы сегодня знаем как алгебру логики (мате­матическую логику, булеву алгебру), опубликовав работу “Исследование законов мышления”.

Новым в алгебре Буля, по сравнению с элементарной алгеброй, является то, что элементы несущего множества алгебры являются не числами, а высказываниями. Если при решении обычных алгебраических уравнений определяется, какому числу равняется неизвестное X, то алгебра логики ищет ответ на вопрос: "Верно ли то или другое высказывание, обозначенное буквой X?"

Существенно, что алгебра логики в качестве аргументов использует высказывания, причем не их смысл, а свойство истинности (значение 1) или ложности (значение 0). Более строго, алгебра логики определяется как несущее множество, состоящее из двух элементов {0,1} и сигнатуры трех операций: отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.

Определено также понятие логической (булевской) функции как функции, аргументы которой являются булевыми переменными - высказываниями, а значением является также высказывание. Запись логической функции осуществляется в аналитическом формате:

Y = L(X₁,…,X_n) (36)

Операции алгебры логики (отрицание, дизъюнкция и конъюнкция) по своей сути являются базисными функциями (область определения булевских аргументов совпадает с областью значений функции). Существует теорема, которая утверждает, что любую логическую функцию можно представить как суперпозицию трех базисных функций – операций алгебры логики. Например:

Y = L(X₁,X₂,X₃,X₄)  Y = (X₁X₂)&(X₃X₄) (37)

Здесь, (X₁X₂)&(X₃X₄) – выражение булевой алгебры.

Примечание. В смысле представления алгебраическими выражениями имеется очевидная аналогия элементарных и логических функций, за одним серьезным исключением. Если в виде выражения алгебры логики можно представить любую логическую функцию, то в виде выражения элементарной алгебры представляются только элементарные функции, которые образуют лишь подмножество всех вещественных функций.

В алгебре логики определены 25 аксиом, использование которых позволяет решить почти любую логическую задачу. Использование аксиом позволяет производить символьные вычисления, которые в элементарной алгебре называются аналитическими (упрощение записи формул и аналитическое решение уравнений).

Несколько слов относительно семью Джорджа Буля. Жена Д. Буля была племянницей Джорджа Эвереста, в 1841 году завершившего в Индии грандиозные по масштабам топографические работы. В честь его заслуг высочайшая вершина мира Джомолунгма в Гималаях одно время даже именовалась Эверестом. Сама Мэри, в отличие от жен многих других математиков, понимала научные идеи своего мужа и своим внимани­ем и участием подвигала его на продолжение исследований. После его смер­ти она написала несколько сочинений и в последнем из них — “Философия и развлечения алгебры”, — опубликованном в 1909 году, пропагандировала математические идеи Джорджа.

Вторая дочь Булей, Маргарет, вошла в историю как мать крупнейшего анг­лийского механика и математика, иностранного члена Академии наук СССР Джеффри Тэйлора. Третья дочь, Алисия, специализировалась в исследовании многомерных пространств и получила почетную ученую степень в Гронингенском университете. Четвертая дочь, Люси, стала первой в Англии женщиной-профессором, возглавившей кафедру химии.

Но наиболее известной из всех дочерей Булей стала младшая, Этель Лили­ан, вышедшая замуж за ученого — эмигранта из Польши Войнича. Войдя в революционную эмигрантскую среду, она написала прославивший ее на весь мир роман “Овод”. За ним последовало еще несколько романов и му­зыкальных произведений, а также перевод на английский язык стихотворе­ний Тараса Шевченко. Войнич скончалась в Нью-Йорке в возрасте 95 лет, немного не дожив до столетия со дня смерти своего знаменитого отца мате­матика Джорджа Буля.