9.2.Цифровой абак и русские счеты
Историки говорят, что первое упоминание о вычислительном приборе типа "абак" встречается в Вавилоне 3000 лет до н.э. Конструкция абака, аналогичная русским счетам появилась 500 лет до н.э.
Абак (рис.24.a) представляет собой ящик, состоящий из нескольких отделений. Принадлежностью абака является кучка счетных камней (Рис.a, внизу). Все счетные камни калиброваны на один размер. В отделении ящика может размещаться ровно девять счетных камней.
Рис. 24. Абак (a) и русские счеты (b)
Каждое отделение ящика представляет вполне определенный разряд десятичной системы счисления: единицы, десятки, сотни, тысячи. Состоянием отделения ящика (разряда числа) является количество камней, размещенных в нем. Каждое состояние представляет какую-либо цифру или основание десятичной системы счисления:
состояние "0" - отсутствие счетных камней – цифра "0";
состояние "1" - один счетный камень– цифра "1";
состояние "2" - два счетных камня– цифра "2";
….
состояние "10" десять счетных камней – переполнение разряда числа.
Целочисленное поразрядное сложение n1+n2 реализуется следующим образом. В отделения ящика – разряды числа помещаются камушки, представляющие первое слагаемое n1.
Пусть d1и d2 цифры разряда единиц первого и второго числа.
В отделение ящика – разряд единиц, помещаются d1 камушков (Рис.25 a);
В отделение единиц последовательно добавляется число камушков d2, представляющих цифру единиц числа d2. При этом возможны два варианта;
1. d1+d2 < 10 - отделение переходит в состояние d1+d2 (цифра единиц результата).
2. (d1+d'2 +d''2 10) & ( d'2 = 10'd1). Добавление d'2 камушков в отделение единиц дает состояние 10. Камушки из разряда единиц убираются, добавляется один камушек в разряд десятков (перенос в старший разряд), в разряд единиц добавляется d'' камушков (рис. 25.b).
Рис. 25. Сложение на абаке: 109+2=111
Для разрядов десятков сотен и т.д. действия аналогичны.
Конкретный пример сложения на абаке приведен на рис. 25. Достаточно просто на абаке выполняется вычитание. Для выполнения операций умножения и деления абак не предназначен.
Рис. 26. Древнегреческий абак
Русские счеты (рис.24.b) позволяют вычислять аналогично абаку, но имеют более эргономичную конструкцию. На деревянной раме смонтировано некоторое количество горизонтальных стержней, на каждом стержне размещается десять дисков. Диски обычно изготавливались из кости и носили название "костяшки". "Костяшки" могут двигаться по стержню влево - вправо. Состоянием стержня является количество "костяшек" придвинутых к правому краю. Каждое состояние представляет либо цифру, либо основание десятичной системы счисления:
состояние стержня "0" – нет костяшек справа – цифра "0";
состояние стержня "1" - одна костяшка справа – цифра "1";
состояние стержня "2" - две костяшки справа – цифра "2";
…
состояние стержня "10" - все костяшки справа – переполнение разряда числа.
Каждый стержень представляет вполне определенный разряд десятичной системы счисления: единицы, десятки, сотни, тысячи.
Поразрядное сложение n1+n2 реализуется практически так же, как сложение в абаке. Пусть d1 и d2 – цифры разряда единиц первого и второго числа.
В разрядах счет "костяшки" устанавливаются таким образом, чтобы состояния стержней представляли цифры первого слагаемого (Рис.27).
Пусть на стержне единиц находится d1"костяшек" справа (состояние стержня d1– цифра единиц первого слагаемого)
Начинаем перекидывать d2"костяшек" (d2- цифра единиц второго слагаемого) по стержню единиц слева – направо. При этом возможны два варианта.
1. d1+d2 < 10 - отделение переходит в состояние d1+d2 (цифра единиц результата).
2. (d1+d'2 +d''2 10) & ( d'2 = 10'd1). Добавление d'2 костяшек в разряд единиц дает состояние 10. Костяшки разряда единиц сбрасываются влево, добавляется одна костяшка в разряд десятков (перенос в старший разряд), в разряд единиц добавляется d'' костяшек (рис. 27).
и т.д. для стержней десятков, сотен…
Пример сложения на русских счетах двух чисел приведен на рис 27.
Рис. 27. Пример сложения на русских счетах
Нетрудно сообразить, как на русских счетах выполнить операцию вычитания. При этом, вместо переноса из младшего разряда в старший, используется заем из старшего разряда в младший. Для выполнения операций умножения и деления русские счеты не предназначены.
Несколько слов относительно вычисления с вещественными числами. Проще всего дело обстоит с нормализованными числами. Нормализованное вещественное число имеет в целой части цифру "0" и первую ненулевую цифру в дробной части. Поразрядное сложение осуществляется описанным выше способом.
Рис. 28. Представление нормализованного дробного числа на русских счетах
Абак и счеты – цифровые вычислительные приборы, точность вычисления на которых зависит от числа разрядов. Образно говоря, если мала точность вычисления – добавьте еще разрядов. Этим цифровые приборы выгодно отличаются от аналоговых приборов.
Рис. 29. Типичные русские счеты