Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
История информационных технологий I.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
8.02 Mб
Скачать

7.3.Элементарная алгебра, аналитические и численные вычисления

Если область допустимых значений каждого аргумента функции совпадает с областью ее значений, такую функцию принято называть операцией. Следовательно, базисные математические функции, из которых конструируются элементарные функции – суть операции.

В самом общем виде алгебра определяется как некоторое множество (носитель) на котором задана сигнатура операций. Мы будем говорить об элементарной алгебре, носителем которой является континуум вещественных чисел, а сигнатура состоит из базисных вещественных функций.

Выражение элементарной алгебры состоит из операндов и операций, записанных в соответствии с общеизвестными синтаксическими правилами. В программировании такое выражение называется арифметическим выражением. Существует три различных формата записи арифметического выражения: префиксный (знак операции ставится перед операндами этой операции), инфиксный (знак операции ставится между операндами этой операции) и постфиксный (знак операции ставится после операндов этой операции). Очевидно, что префиксный формат записи арифметического выражения является ничем иным как записью суперпозиции, определяющей элементарную функцию. Учитывая, что одно и то же арифметическое выражение может быть записано как в префиксном, так и в инфиксном формате, получаем, например:

f(x1,x2,x3,x4) = f*(f+(x1,x2),f-(x3,x4)) = (x1+x2)*(x3-x4) (34)

Аналитическая запись элементарной функции имеет следующий вид:

y = f*(x1,x2,…,xn) (35)

Здесь, f*(x1,x2,…,xn) – инфиксное арифметическое выражение, определяющее элементарную функцию f(x1,x2,…,xn).

Арифметическое выражение f*(x1,x2,…,xn) является именем значения функции, переменная y – второе имя функции. Запись (35) является утверждением: имя y и имя f#(x1,x2,…,xn) обозначают одно и то же значение функции (Рис.20).

Рис. 20. Аналитический формат записи элементарной функции y = f(x1,x2,…,xn)

Вычисление - математическое преобразование, позволяющее преобразовывать набор исходных данных в выходной набор данных по вполне определенным правилам. Если смотреть с точки зрения теории информации, вычисление - это получение из входных данных нового знания. Вычисления подразделяются на аналитические и численные.

Аналитические вычисления преследуют цель преобразования исходных символьных строк в результирующие формулы, представленные в аналитическом виде. Такие преобразования реализуют упрощение арифметических выражений (приведение подобных, раскрытие скобок, группировку подобных членов); вычисление производных и интегралов; решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений и т.д.

Аналитическое вычисление позволяет представить функциональную зависимость в общем виде для всего диапазона области допустимых значений функции. Это представление являет собой явную аналитическую формулу вида: y = f#(x1,…,xn). В случае, когда необходимо определить значение функции при заданных значениях ее аргументов: [x1],…,[xn], реализуется вычисление арифметического выражения f#(x1,…,xn) в два этапа:

конкретизация арифметического выражения - имена аргументов заменяются на значения аргументов;

вычисление конкретизации арифметического выражения посредством выполнения образующих его операций при заданных значениях операндов.

Пример.  (x1+x2)*(x3-x4)/5,3,7,5 = (5+3)*(7-5) = 16

Примечание. Здесь особо проявляется целесообразность представления элементарной функции в виде арифметического выражения. Алгоритм вычисления любой конкретизации арифметического выражения существует и хорошо известен.

Мы рассмотрели случай, когда после аналитических вычислений полученный результат служит исходными данными для численных алгебраических вычислений. При этом численные вычисления сводятся, в конечном итоге, к выполнению в определенном порядке последовательности арифметических операций.

Однако, аналитические вычисления не всемогущи. Далеко не всегда при решении уравнений результат может быть представлен в аналитическом виде (в формате явной формулы элементарной функции). Вследствие этого невозможно вычислить значение функции при заданных аргументах посредством обозначения этого значения арифметическим выражением (Рис. 20) с последующей его конкретизацией.

Прежде всего подобная ситуация возникает при решении систем дифференциальных уравнений. В этом случае вычисление реализуется посредством выполнения специфического для данной системы уравнений алгоритма преобразующего значения аргументов функции (значения переменных и параметров уравнений) в численный результат, представляющий значение функции, т.е. решение системы уравнений в заданной точке. Подобную методологию принято называть численными алгоритмическими вычислениями.

Пример. Решение системы линейных дифференциальных уравнений методом Рунге – Кута.