7.Формализация физических зависимостей

7.1.Функции

Решение проблемы численного представления характеристик артефактов оказалось недостаточным. Дело в том, что многие артефакты находятся в различных отношениях друг с другом. Говоря другими словами, существует множество зависимостей между артефактами различного рода, которые надо представлять и анализировать: зависимость пройденного пути от скорости движения, зависимость траектории снаряда баллисты от начальной скорости снаряда, зависимость площади треугольника от величины его сторон и т.д. и т.п.

Разнообразие подобных задач приводит к пониманию необходимости абстрагировать зависимости между артефактами различного рода в понятие "функциональная зависимость" ("математическая функция"). Особое внимание имеют функциональные зависимости от времени, абстрагирующие поведение процессов различного рода.

По-видимому, формирование представления о математической функции происходило параллельно со становлением такой естественно-научной дисциплины как физика. С целью аппроксимации поведения физических явлений функциями, сформировалась самостоятельная научная дисциплина – математическая физика. В рамках этой дисциплины рассматриваются классы физических явлений и предлагаются математические модели этих явлений. Начиная со второй половины 19-го века, математическая физика успешно применялась для изучения физических явлений, связанных с различными физическими полями и волновыми процессами в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро и аэродинамике и т.д.

Математическая физика тесно связана с физикой в той своей части, которая связана с построением математических моделей, но остается разделом математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими.

7.2.Элементарные функции

Вещественная функция многих вещественных переменных в аналитическом формате записывается следующим образом:

y = f(x₁,...,x_n) или F(y, x₁,...,x_n) = 0 (33)

Здесь, x₁,...,x_n,y – вещественные переменные, принимающие значения из континуума вещественных чисел R.

Среди множества вещественных функций выделяется подмножество элементарных функций, каждую из которых можно вычислить (с заранее известной точностью), используя лишь четыре арифметические операции: сложения, вычитания, умножения и деления.

Более строго, понятие элементарной функции определяется следующим образом. Прежде всего, выделяются три класса базисных функций, которые по определению считаются элементарными.

1. Базисные арифметические функции – операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

2. Базисные математические функции: x^y, log(x), e^x и т.д.

3. Базисные тригонометрические функции: sin(x), cos(x) и т.д.

Класс элементарных функций определяется следующим образом: любая конечная суперпозиция базисных элементарных функций является элементарной функцией.

Функция считается вычислимой, если существует алгоритм, позволяющий за конечное число шагов определить значение функции для любого допустимого значения ее аргумента. [В.А. Успенский. Лекции о вычислимых функциях.  М.: Гос. изд-во ф.м лит-ры, 1960]. Покажем, что любая элементарная функция – вычислима.

Любая базисная арифметическая функция вычислима, так как в компьютере реализованы команды – императивы вычисления этих функций.

Любая базисная математическая функция представляется в виде сходящегося ряда Тейлора (по крайней мере, в известных пределах). Таким образом, такую функцию можно вычислить посредством вычисления частичной суммы - k первых членов ряда Тейлора. Точность вычисления определяется величиной k. Заметим, что для вычисления частичной суммы достаточно использования команд – императивов вычисления базисных арифметических функций.

Аналогичное заключение справедливо для базисных тригонометрических функций.

Таким образом, любая элементарная функция, представленная в виде конечной суперпозиции базисных элементарных функций, вычисляется с требуемой степенью приближения посредством выполнения последовательности команд, вычисляющих базисные элементарные функции сложения, вычитания, умножения и деления.

Элементарные функции являются лишь подклассом класса всех вещественных функций, однако большинство физических явлений абстрагируется в виде задач математической физики, решение которых сводится, в конечном итоге к многократному вычислению элементарных функций. Алгоритмы вычисления базисных элементарных функций известны.

Рассмотрим на примерах, как элементарные математические функции абстрагируют статические зависимости и динамические процессы в предметных областях.

Пример 1. Измерительная схема (Рис. 18) позволяет снять экспериментальную кривую зависимости напряжения (обозначение U) на резисторе от тока (обозначение I). Очевидно, что для приближенного представления этой зависимости использоваться линейная функция. Коэффициент наклона графика линейной функции называется сопротивлением и обозначается как R. Подобное представление экспериментальной кривой математической функцией называется аппроксимацией. Аппроксимирующая функция записывается в виде формулы V=R*I и называется законом Ома.

Рис. 18. Аппроксимация линейной функцией зависимости напряжения от тока. Amp – амперметр, Volt - вольтметр

Пример 2. . Измерительная схема (Рис. 19) позволяет снять экспериментальную кривую зависимости напряжения (обозначение U) на конденсаторе емкости С от времени (обозначение t) при замыкании ключа K. Аппроксимирующая функция в этом случае записывается в виде формулы: U = E(1-exp^(t/RC)).

Рис. 19. Аппроксимация процесса заряда конденсатора экспонентой

Пример 3. Типичным примером системы, осуществляющей простое гармоничное движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединен к пружине. Поведение консервативного гармонического осциллятора представляется в виде дифференциального уравнения второго порядка (формульная запись неявной функции F(x'',x, ²_o,t) = 0):

x''+²_ox = 0

Здесь, ²_o = k/m, где x – смещение груза относительно положения равновесия, k – жесткость пружины, m – масса груза. Коэффициент ₀ называют циклической частотой осциллятора.

Аналитическое решение уравнения () записывается в виде гармонической функции:

x(t) = Asin(₀t+) (9)

Функция (8) играет роль аппроксимирующей функции для экспериментальной кривой движения системы груз-пружина. (График функции совпадает с экспериментальной кривой движения этой системы).

Однако, во многих случаях, получить аналитическое решение задачи, посредством манипуляций с формульной математической моделью, не представляется возможным. Говоря другими словами, если и имеется возможность аппроксимировать закон поведения физических тел в виде уравнения (системы уравнений), то извлечь из этих формализмов практически важные следствия, то есть траектории движения этих тел, пользуясь только формулами невозможно.

Таким образом, в традиционном математическом аппарате (математический анализ, абстрактная алгебра) имеется брешь, заполнить которую позволяют алгоритмы. Например, при алгоритмическом подходе в математической физике производные заменяются на разностные схемы, в результате чего задача решения системы дифференциальных уравнений сводится к задаче линейной алгебры. Используя тот или иной алгоритм решения линейных алгебраических уравнений можно получить численное решение практически любого дифференциального уравнения []. Однако, за все надо платить. Если аналитическое решение дифференциального уравнения () представляет поведение маятника при любых его параметрах (масса грузика, длина плеча, начальные условия), то численное решение дает результат лишь при конкретных значениях этих параметров. Для того чтобы представить поведение маятника "вообще", необходимо многократно повторять решение дифференциального уравнения при всевозможных значениях параметров маятника. Не вызывает сомнения, что при разработке формального аппарата математического анализа и абстрактной алгебры ЧЕЛОВЕК ориентировался, прежде всего, на решение проблем формализации физических артефактов среды обитания. Созданный, в конечном итоге, усилиями многих выдающихся математиков формализм элементарных функций обеспечил формализацию и решение большинства физических задач.

Вычислимость элементарных функций и их приспособленность для моделирования сущностей физического мира обуславливают их широкое применение при решении теоретических, технических и практических задач.

Вне всякого сомнения, как только ЧЕЛОВЕК столкнулся с необходимостью формализации окружающей действительности, он начал учиться вычислять элементарные функции. Также понятно, почему первые арифмометры, а затем и первые компьютеры проектировались как вычислители, способные автоматически выполнять четыре арифметические команды: сложения, вычитания, умножения и деления.