Математика

4. Содержание разделов и тем дисциплины

Раздел I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Тема 1. Элементы аналитической геометрии и векторный анализ

Основные понятия. Декартова система координат. Полярные координаты. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Уравнение прямой линии. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Уравнение поверхности и линии в пространстве. Расстояние точки от плоскости. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Направляющие косинусы. Поверхности второго порядка в пространстве.

Понятие вектора и линейные операции над векторами. Системы векторов. N-мерное линейное векторное пространство. Собственные векторы линейных операторов. Евклидово пространство. Сложение векторов и умножение вектора на скаляр. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Комплексные числа и многочлены. Модуль вектора. Скалярное произведение двух векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения в координатах. Векторное произведение двух векторов.

Тема 2. Основы теории матриц

Основные понятия матричного анализа. Линейные операторы и матрицы. Операции над матрицами. Прямоугольные матрицы. Умножение матриц. Диагональная и единичная матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений. Определители и их свойства. Транспонированная, присоединенная и обратная матрицы. Ранг матрицы. Определители второго и третьего порядков. Квадратичные формы. Методы решения систем линейных уравнений. Формула Крамера. Метод исключения Гаусса. Собственные значения матриц и собственные векторы.

Раздел II. Математический анализ

Тема 3. Введение в анализ

Действительные числа. Понятие множества. Операции над множествами. Последовательности и их пределы. Понятие окрестности точки. Сходящиеся последовательности. Предел числовой последовательности. Монотонные последовательности. Свойства числовых множеств и последовательностей. Функции одной переменной. Свойства монотонных функций. Предел функции. Бесконечно малые величины. Непрерывность и разрывы функций. Сложная функция и ее непрерывность. Глобальные свойства непрерывных функций. Функции нескольких переменных, их непрерывность. Числовые и степенные ряды.

Тема 4. Дифференциальное исчисление

Производная и дифференциал. Физическая и геометрическая интерпретация производной. Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал функции. Дифференцирование сложной функции и обратной функции. Правила и техника дифференцирования. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. Производные простейших элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения.

Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя). Формула Тейлора. Участки монотонности функции. Отыскание точек экстремума. Выпуклость функции. Точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Локальный (безусловный) и условный экстремум функции нескольких переменных.