2.1 Метод Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом

Методы Рунге-Кутта второго порядка основаны на разложении функции y(x) в ряд Тейлора и учете трех его первых членов (до второй производной включительно)

Формула метода Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом

имеет вид

(2.3)

Геометрическая интерпретация метода (рисунок 4) заключается в следующем:

1. Делают пробный шаг по формуле Эйлера находят

2. В найденной точке определяют наклон интегральной кривой

3. По этому наклону определяют приращение функции на следующем шаге

Рисунок 5 – Метод Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом

Алгоритм метода Рунге-Кутта с половинным шагом приведен на рисунке 6.

Рисунок 6 ­– Блок-схема алгоритма метода Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом

2.2 Расчёт переходного и установившегося процессов в цепи с применением метода Рунге-Кутта второго порядка с половинным шагом в программной среде MathCad

Все расчеты приведены в системе СИ

Параметры катушки:

Параметры сети: ;

Входное воздействие: ;

Шаг интегрирования:

Правая часть дифференциального уравнения:

Начальные условия:

Задания цикла:

Расчетное выражение:

Рисунок 7 – График переходного процесса в цепи

Для такого чтоб привести ток I_i в зависимость I(t) проведем интерполяцию кубическим сплайном данной кривой:

Рисунок 8 – График зависимости тока от времени I1(t1)

Определим уровень установившегося режима

А.

Составим нелинейное уравнение. Учитываем 5% погрешность от шумов

Рисунок 9 – График нелинейного уравнения

По рисунку 9 видно, что переходной процесс заканчивается до 0,01 с.

Определим время переходного процесса методом дихотомии

Время переходного процесса: с.

3. Анализ гармонического состава тока нелинейной цепи в установившемся режиме

В п. 2 после решения ДУ (2.2) было найдено время переходного процесса в нелинейной электрической цепи. Гармонический анализ следует проводить в установившемся режиме после окончания переходного процесса.

Указание: при разложении тока на гармоники следует брать интервал времени равный или кратный целому числу колебаний.

3.1 Разложение в ряд в Фурье

Разновидность обработки данных, связанная с преобразованием их частотного представления или спектра. Спектр получается в результате разложения исходной функции, зависящей от времени (временной ряд) или пространственных координат (например, изображения), в базис некоторой периодической функции. Наиболее часто для спектральной обработки используется спектр Фурье, получаемый на основе базиса синуса (разложение Фурье, преобразование Фурье).

Основной смысл преобразования Фурье в том, что исходная непериодическая функция произвольной формы, которую невозможно описать аналитически и в общем случае трудная для обработки и анализа, представляется в виде совокупности синусов или косинусов с различной частотой и амплитудой. Иными словами, сложная функция преобразуется в множество более простых. Каждая синусоида (или косинусоида) с определенной частотой и амплитудой, полученная в результате разложения Фурье, называется спектральной составляющей или гармоникой. Спектральные составляющие образуют спектр Фурье.

Тригонометрическим рядом Фурье функции   называют функциональный ряд вида

(3.1)

где

или ,

или ,

или ,

Числа  ,    ( ) называются коэффициентами Фурье функции f. T – период гармонической функции.

В нашем случае зависимость I(t) не является тригонометрической функцией и следовательно вычислить определенный интеграл будет не возможно. Для определения коэффициентов ряда Фурье, заменим интеграл суммой:

, (3.2)

, (3.3)

, (3.4)

где , , – частота основной гармоники.