1.1 Интерполяция каноническим полиномом
Пусть
функция
задана таблицей значений
,
полученной из эксперимента или путем
вычисления в последовательности значений
аргумента
.
Выбранные значения аргумента
называются узлами таблицы. Считаем, что
в общем случае узлы не являются
равноотстоящими.
Введем
аппроксимирующую функцию
так, чтобы она совпадала с табличными
значениями заданной функции во всех
узлах
(1.1)
Свободные
параметры
определяются из системы уравнений (1).
Подобный способ введения аппроксимирующей функции называется лагранжевой интерполяцией, а соотношение (1.1) – условиями Лагранжа.
Введем
в качестве аппроксимирующей функции
полином
степени
в каноническом виде
.
(1.2)
Свободными параметрами интерполяции являются коэффициенты полинома (2). Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования.
Коэффициенты определим из условия Лагранжа
(1.3)
Система линейных алгебраических уравнений (3) имеет решение относительно свободных параметров , так как определитель системы отличен от нуля, если среди узлов нет совпадающих. Определитель системы (3) называется определителем Вандермонда и имеет аналитическое выражение.
На рисунке 2 представлена блок-схема метода интерполяции каноническими полиномами
Рисунок 2 – Блок-схема метода интерполяции каноническими полиномами
1.2 Интерполяция каноническими полиномами в программной среде MathCad 14
Все значение представлены в системе СИ
Представим исходные данные в виде матрицы:
Рисунок 3 – График исходных точек
Посчитаем
количество строк в матрице:
Составим матрицу xij
Найдем
конфиденты полинома:
Запишем канонический полином в виде суммы
Представим канонический полином на одном графике
Рисунок 4 – Интерполяция каноническими полиномами
Как видно из рисунка 4 канонический полином проходит через все узловые точки.
2. Расчёт переходного и установившегося процессов в цепи
В п. 1 после интерполирования получена зависимость H(B), позволяющая по текущему значению магнитной индукции B найти величину напряжённости магнитного поля H.
Зададимся геометрией катушки: l = 15·10-2 м – средняя длина силовых линий напряжённости магнитного поля H в тороидальном магнитопроводе, S = 2·10-4 м2 – площадь поперечного сечения магнитопровода, w = 2000 – число витков катушки, R = 1 Ом.
Запишем дифференциальное уравнение (ДУ) равновесия электрической цепи
,
(2.1)
где ψ – потокосцепление катушки.
Приведём ДУ (1) к нормальной форме Коши:
,
(2.2)
Уравнение (2.2) можно решим методом Рунге-Кутта 2-го порядка с половинным шагом.
В процессе интегрирования ДУ (2.2) придётся на каждом шаге по известному значению потокосцепления катушки вычислять ток в катушке. Для того необходимо воспользоваться результатами интерполяции кривой H(B), выполненной в п.1, и известными соотношениями из теории магнитных цепей.
Магнитную индукцию B в магнитопроводе катушки можно выразить через S, w и ψ как
.
Ток в катушке можно рассчитать как
.