4. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Вариант №12.

1. В равнобедренной трапеции угол , , точки и – середины отрезков и . Выразить векторы , , , через единичные векторы и совпадающие по направлению с и .

2. Даны векторы , . Найти .

3. Векторы , , образуют треугольник. Векторы , — ортонормированный базис. Найти углы треугольника .

4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , и синус угла между этими векторами.

5. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

Вариант №13.

1. Даны векторы , , . Доказать, что — трапеция.

2. Найти вектор коллинеарный вектору , образующий с ортом острый угол при условии, что .

3. Векторы , , имеют равные длины и попарно образуют равные углы. Найти координаты вектора , если , .

4. Даны векторы , , . Вычислить и .

5. Найти объем пирамиды с вершинами , , , .

Вариант №14.

1. Найти сумму векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами.

2. Найти вектор , параллельный вектору и противоположного с ним направления, если .

3. Доказать, что точки , , лежат на одной прямой. Причем точка лежит между точками и .

4. Найти координаты вектора перпендикулярного оси аппликат и вектору , при условии, что вектор образует острый угол с осью абсцисс и .

5. Какую тройку образуют векторы , , ?

Вариант №15.

1. Зная радиус-векторы , , трех последовательных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор четвертой вершины.

2. Найти разложение вектора по векторам и .

3. Найти вектор при условии, что он перпендикулярен оси и удовлетворяет условиям , , , .

4. Найти длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах , .

5. При каком значении параметра векторы , , будут компланарны?

Вариант №16.

1. Радиус-векторы вершин треугольника равны , , . Показать, что треугольник равносторонний.

2. Радиус-вектор точки составляет с осью угол , а с осью угол , . Найти координаты точки , если ее абсцисса отрицательная.

3. Доказать, что вектор перпендикулярен вектору .

4. Вычислить синус угла, образованного векторами и .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Вариант №17.

1. Три вектора , , попарно перпендикулярны, длины их соответственно равны , и . Найти направляющие косинусы вектора и .

2. Могут ли векторы , , быть сторонами треугольника?

3. Найти работу равнодействующей сил и при перемещении материальной точки из начала координат в точку .

4. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты , опущенную на сторону .

5. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

Вариант №18.

1. Даны четыре точки , , и . Точки и — середины отрезков и . Доказать, что .

2. В правильном шестиугольнике , . Выразить через и векторы и .

3. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и перпендикулярны?

4. Найти вектор , перпендикулярный векторам , и удовлетворяющий условию .

5. Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах , и .

Вариант №19.

1. В параллелограмме найти , если , , , , где — точка пересечения диагоналей.

2. Радиус вектор точки составляет с осью угол , а с осью — , .Найти координаты точки , если третья координата отрицательная.

3. Даны векторы , , . Найти вектор , если , , .

4. В треугольнике заданы стороны , . Найти длину высоты .

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №20.

1. В треугольнике стороны , , точка – серединка стороны . Разложить вектор по векторам и .

2. Радиус-вектор точки составляет с осью угол , а с осью угол , . Найти координаты точки , если ее абсцисса отрицательная.

3. Даны векторы , , . Найти вектор , если , , .

4. В треугольнике заданы стороны , . Найти длину высоты .

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №21.

1. В четырехугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам. Доказать, что этот четырехугольник — параллелограмм.

2. Разложить вектор по векторам и . Найти .

3. Проверить, что четырехугольник с вершинами , , , является квадратом.

4. Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору, и оси абсцисс.

5. Объем тетраэдра равен , три его вершины находятся в точках , , . Найти координаты четвертой вершины, если она лежит на оси ординат.

Вариант №22.

1. Найти координаты вектора , если и направляющие углы равны: .

2. Коллинеарны ли векторы и , если коллинеарны векторы и ?

3. В треугольнике с вершинами , , найти длины сторон и внутренние углы.