Высшая математика

Векторы. Операции над векторами.

Высшая математика

Векторы. Операции над векторами.

Вариант №1.

1. В параллелограмме найти , если , , , , где — точка пересечения диагоналей.

2. Разложить вектор по векторам и .

3. Найти вектор , если , , где , , .

4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где , , .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти угол между ребрами и , объем пирамиды, длину высоты, опущенной на грань .

Вариант №2.

1. В параллелограмме доказать, что , где — точка пересечения диагоналей.

2. Радиус вектор точки составляет с осью угол , а с осью — , .Найти координаты точки , если третья координата отрицательная.

3. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и .

4. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти угол между ребрами и , объем пирамиды, длину высоты, опущенной на грань .

Вариант №3.

1. Угол между векторами и равен . Построить вектор и определить его длину, если , .

2. Проверить, что точки , , , образуют трапецию.

3. Даны векторы , , . Найти вектор , если , , .

4. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты, опущенной из вершины на сторону .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти угол между ребрами и , объем пирамиды, длину ребра .

Вариант №4.

1. В ромбе диагонали и Найти разложение по этому базису векторов

2. Зная одну из вершин треугольника и две его стороны и найти остальные вершины и сторону

3. Найти вектор , если , , .

4. В треугольнике заданы стороны , . Найти длину высоты .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти угол между ребрами и , объем пирамиды, длину ребра .

Вариант №5.

1. В треугольнике стороны , , точка – серединка стороны . Разложить вектор по векторам и .

2. Доказать, что в любом треугольнике длины его сторон пропорциональны синусам противоположных углов.

3. Проверить, могут ли векторы и быть ребрами куба. Найти третье ребро куба.

4. Найти координаты и длину вектора , если , .

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №6.

1. В четырехугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам. Доказать, что этот четырехугольник — параллелограмм.

2. Дана сила . Найти ее величину и направление (направляющие косинусы).

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

4. Даны векторы и . Найти вектор и .

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №7.

1. Медианы треугольника пересекаются в точке . Доказать, что .

2. Разложить вектор по векторам и . Найти .

3. Проверить, могут ли векторы и быть ребрами куба. Найти третье ребро куба.

4. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

5. В пирамиде с вершинами , , , найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Вариант №8.

1. Даны векторы , , . При каком значении коэффициента векторы и будут коллинеарные?

2. Даны три последовательные вершины параллелограмма , , . Найти его четвертую вершину.

3. Проверить, что четырехугольник с вершинами , , , является квадратом.

4. Найти единичный вектор , перпендикулярный каждому из векторов ,

5. В параллелепипеде , построенном на векторах , и , найти угол между ребром и диагональю .

Вариант №9.

1. Разложить вектор по векторам , , .

2. Коллинеарны ли векторы и , если коллинеарны векторы и ?

3. В треугольнике с вершинами , , найти длины сторон и внутренние углы.

4. Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору, и оси абсцисс.

5. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , и , опущенную на грань, построенную на векторах и .

Вариант №10.

1. Найти координаты вектора , если и направляющие углы равны: .

2. В правильном шестиугольнике , . Выразить через и векторы и .

3. В треугольнике с вершинами , , найти острый угол между медианой и стороной .

4. Найти площадь параллелограмма построенного на векторах и , где , , .

5. Объем тетраэдра равен , три его вершины находятся в точках , , . Найти координаты четвертой вершины, если она лежит на оси ординат.

Вариант №11.

1. В треугольнике найти длину медианы, опущенной из вершины , если , , .

2. Вектор . Найти координаты вектора , параллельного вектору и противоположного с ним направления, .

3. Найти угол между биссектрисами углов и .