11)Дифференциальные уравнения изогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом непосредственного интегрирования.

Угол поворота сечения (θ) - это угол между плоскостями поперечных сечений до и после деформации

Угол θ также можно задать угол между недеформированной осью и касательной проведенной к изогнутой оси в рассматриваемой точке.

Θ=dy/dx.

Прогиб (у)- перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном недеформированной оси бруса.

Изогнутая ось балки искривляется в силовой плоскости, тоесть сечения получают поступательные перемещение и поворачивается.

Перемещение вверх-у>0

Перемещение вниз-y<0

Угол поворота по часовой - <0. Угол поворота против часовой- >0.

Кривизна изогнутой оси балки;

1/ρ=M(x)/EJ_z

Точное уравнение изогнутой оси бруса;

1/ρ=(d²y/dx²)/[1+(dy/dx)²]^3/2

Основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;d²y/dx²=M(x)/EJ_Z

Закон изменения прогиба по длине балки;

y(x)=∫dx∫(M(x)/EJ_z)dx+cx+D

Производные постоянные С и D находятся из граничных условий. Уравнение изогнутой оси бруса, или уравнение упругой линии балки, или уравнение описывающую кривизну прямой, то есть геометрического места точек, центров тяжести деформированной оси бруса –у=у(х).

Коротко говоря, при определении перемещений методом непосредственного интегрирования необходимо для каждого участка балки составлять выражения изгибающих моментов и производить интегрирования основного диф. уравнения изогнутой оси балки. Но при двух или большем числе участков балки применение этого метода становится затруднительным. Поэтому лучше применять для определения прогиба и угла поворота такие методы; Мор, Верещагин, Кастильян, метод начальных параметров.

12)Распространение касательных напряжений в балках прямоугольного и двутаврового профиля.

Формула для определения касательного напряжения в сечении с координатой Х (формула Журавского) - Q(Х)·S^*_Z/в(у)·J_Z

Определим напряжения в точках на прямоугольном поперечном сечении (точки-1,2,3)

Точка 1; у=0, =М(х)·у/J_Z

σ=0

Точка 2;у=h/2→ σ=(M(x)·(h/2)/J_Z)≤σ_max

S^*_Z=y^*_Ц.Т.·А^*=у_Ц.Т.·0=0

Q(Х)·S^*_Z/в(у)·J_Z

τ=0

Точка С;

S^*_Z=у^*_Ц.Т.·А^*={у_Ц.Т.=1/2· ·((h/2)-у)+у,А^*=в(у)((h/2)- -у))}=((h/4)-((у/2)+у)в(у)· ·((h/2)-у)=в(у)1/2((h/2)+у) ·((h/2)-у=(1/2)·в(у)[(h/2)²- -у²]=S^*_Z

в(у)=в

J_Z=вh³/12

(Q(Х)·S^*_Z/в(у)·J_Z=Q(x)· ·1/2·в·[(h/2)²-у²])/в·(вh³/ /12)=6Q(x)/(вh³/12)[(h/2)² –y²]- закон предраспределения касательного напряжения по высоте прямоугольного сечения

Для точки 1 касательное напряжение можно определять по этой формуле.

Точка 3; у=h/2;τ=0

σ=(M(x)·(h/2)/J_Z)

Точка 1;

У=0, τ=(6Q(x)/h³в)·h²/4= =3/2·(Q/hв)=3Q/2A

τ_max- в точках принадлежащих нейтральной линии

τ=0-в точках максимально удаленных от нейтральной линии

Двутавровый профиль.

Точка 1; у=h/2, S^*_Z=у^*_Ц.Т.·А^*, А^*=0→τ=0

Точка 2; у=(h/2)-t

S^*_Z=y^*_Ц.Т.·A^*={A^*=вt, у^*_Ц.Т.=(h/2)-(t/2)}=1tв/2· ·(h-t)

Точка 2^'; в(у)=в

(Q(Х)·S^*_Z/в(у)·J_Z

Точка 2'';в(у)=d

Точка 3; у=0, S^*_Z=S_{Z max}