2. Оценка параметров уравнения множественной регрессии

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). Возможны два способа расчета параметров многофакторной модели:

• методом определителей;

• метод стандартизации переменных (с использованием парных коэффициентов корреляции).–

В первом случае для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

(1.6)

Для ее решения может быть применен метод определителей:

(1.7)

где - определитель системы; (1.8)

частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Во втором методе уравнение множественной регрессии преобразуется в уравнение регрессии в стандартизованном масштабе (виде):

, (1.9)

где стандартизованные переменные; стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК, стандартизованные коэффициенты регрессии определяются из следующей системы уравнений:

, (1.10)

Связь коэффициентов множественной регрессии b _i со стандартизованными коэффициентами описывается соотношением

(1.11)

Параметр а определяется как . (1.12)

Это позволяет от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе

,

переходить к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных:

При нелинейной зависимости признаков, приводимой к линейному виду, параметры множественной регрессии также определяются МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходным переменным, а к преобразованным данным. Например, для степенной функции

преобразование в линейный вид заключается, как и в парной регрессии, в логарифмировании уравнения по десятичному или натуральному основанию. Линейный вид степенной функции: где переменные выражены в логарифмах.

Далее обработка МНК та же, что и описана выше: строится система нормальных уравнений и определяются параметры lna, b₁, b₂, …, b _p. Потенцируя значение lna, найдем параметр а и соответсвенно общий вид степенной функции.

Для другого вида моделей, например, полиномиальных, гиперболических и т. п. линеаризация исходного уравнения проводится, как и в парной регрессии, путем замены нелинейных переменных на линейные.

1. Расчет коэффициентов эластичности

Для множественного уравнения регрессии рассчитываются средние и частные коэффициенты эластичности.

Средние коэффициенты эластичности для множественной регрессии рассчитываются по формуле

(1.13)

где частные производные уравнения регрессии по соответствующему фактору; среднее значение соответствующего фактора x _i; среднее значение результативного признака.

Средний коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменится результат у с увеличением фактора х_i на 1 % от своего среднего уровня.

Для линейной множественной регрессии средние коэффициенты эластичности рассчитываются

(1.14)

где b _i - коэффициент чистой регрессии для соответствующего фактора x _i;

средние значения соответствующего фактора и результативного признака по совокупности показателей.

Средние коэффициенты эластичности можно сравнивать друг сдругом и соответственно использовать для ранжирования факторов по силе их влияния на результат. Чем больше величина , тем сильнее влияет фактор х_i на результат у.

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются на основе частных уравнений регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами х_i при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. Для линейной множественной регрессии частные уравнения регрессии имеют следующий вид:

(1.15)

……………………………………………………………….

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т. е. имеем:

(1.16)

…………………………………

Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения регрессии

С учетом частных уравнений регрессии для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

(1.17)

где b _i - коэффициент регрессии для соответствующего фактора x _i в уравнении множественной регрессии;

- частное уравнение регрессии.

Значения частных коэффициентов эластичности могут быть использованы при принятии решений относительно экономических явлений конкретных регионов, областей, предприятий и т. п.