1. Построение аддитивной модели временного ряда

Для расчетов используем данные об объеме выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года, представленные в табл. 3.1.

Анализ величины коэффициентов автокорреляции показал, что в данном временном ряде имеются сезонные колебания с периодичностью 4.

Рассчитаем компоненты аддитивной модели.

Таблица 3.2 – расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Номер квартала t	Объем выпуска Yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	410	-	-	-	-
2	400	-	-	-	-
3	715	2125	531,25	553,13	161,87
4	600	2300	575	595	5,0
5	585	2460	615	647,5	-62,5
6	560	2720	680	705	-145,0
7	975	2920	730	752,5	222,5
8	800	3100	775	795	5,0
9	765	3260	815	847,5	-82,5
10	720	3520	880	917,5	-197,5
11	1235	3820	955
12	1100

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени;

б) разделим полученные суммы на 4, найдем скользящие средние, которые не содержат сезонной компоненты;

с) найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

Таблица 3.3 – расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатели	Год	Номер квартала, i
		I	II	III	IY
	1 2 3	- -62,5 -82,5	- -145 -197,5	161,87 222,5 -	5,0 5,0 -
Итого за i- й квартал за все годы		-145	-342,5	384,37	10,0
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала		-72,5	-171,25	192,185	5,0
Скорректированная сезонная компонента, Si		-60,858	-159,609	203,826	16,641

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i.

В аддитивной модели сумма значений сезонной компоненты по кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем: -72,5-171,25+192,185+5,0=-46,565.

Определим корректирующий коэффициент :

k = -46,565/4 = -11,641.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом.

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

-60,858 – 159,609 + 203,826 + 16,641 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S₁ = -60,858; II квартал: S₂ = -159,609;

III квартал: S₃ = 203,826; IY квартал: S₄ = 16,641.

Занесем полученные значения в табл.3.4 для соответствующих кварталов года.

Таблица 3. 4 – расчет выровненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

t	Yt	Si	T + E = Yt - S	T	T + S	Е=Yt – (T+S)	E2
1	410	-60,858	470,858	445,727	384,869	25,131	631,5672
2	400	-159,609	559,609	499,004	339,395	60,605	3672,966
3	715	203,826	511,174	552,281	756,107	-41,107	1689,785
4	600	16,641	583,359	605,558	622,199	-22,199	492,7956
5	585	-60,858	645,858	658,835	597,977	-12,977	168,4025
6	560	-159,609	719,609	712,112	552,503	7,497	56,20501
7	975	203,826	771,174	765,389	969,215	5,785	33,46622
8	800	16,641	783,359	818,666	835,307	-35,307	1246,584
9	765	-60,858	825,858	871,943	811,085	-46,085	2123,827
10	720	-159,609	879,609	925,22	765,611	-45,611	2080,363
11	1235	203,826	1031,174	978,497	1182,323	52,677	2774,866
12	1100	16,641	1083,359	1031,774	1048,415	51,585	2661,012

Шаг 3. элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т + Е = Y_t – S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда Т + Е с помощью линейного тренда. В результате получен линейный тренд вида:

Т = 392,45 + 53,277*t.

Коэффициент детерминации R² = 0,958. График уравнения тренда приведен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Объем выработки продукции

Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2,…,12, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значение сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле

Е = Y_t – (T+S).

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной модели она равна 17631,84. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 735606,3. Эта величина составляет 2,4 %.

(1-17631,84/735606,3)*100 = 97,6%.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97,6% общей вариации уровней временного ряда объема выпуска продукции за последние 12 кварталов.