2. Методы оценивания параметров структурной модели

Для решения точно идентифицируемого уравнения используется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Алгоритм косвенного МНК включает три шага:

1. Составление приведенной формы модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ( ).

3. Путем алгебраических преобразований по оценкам приведенных коэффициентов определение параметров структурной формы модели.

Рассмотрим пример. Пусть дана структурная форма модели с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными:

(2.6)

Для построения данной модели мы располагаем некоторой информацией по семи регионам:

Таблица 2.1 – Исходные данные для построения структурной формы модели

№	у1	у2	х1	х2
1	2	6	1	2	-3	-1	-2,1	-0,4
2	3	7	2	3	-2	0	-1,1	0,6
3	4	8	5	1	-1	1	1,9	-1,4
4	5	5	3	4	0	-2	-0,1	-1,6
5	6	4	3	2	1	-3	-0,1	-0,4
6	7	9	4	2	2	2	0,9	-0,4
7	8	10	4	3	3	3	0,9	0,6
Ср.	5	7	3,1	2,4

Шаг1. Приведенная форма модели составит:

(2.7)

Шаг2. Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем обычный МНК и определяем - коэффициенты.

Чтобы упростить процедуру расчетов, можно использовать отклонения от средних уровней: .

Для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:

Для расчета приведенных коэффициентов по исходным данным определяем Расчеты ведем в таблице 2.2.

Таблица 2. 2 – Расчеты приведенных и структурных коэффициентов

№	у1х1	у1х2	х1х2	х12	х22	у2х1	у2х2		+х1=z	у1*z	z2
1	6,3	1,2	0,84	4,41	0,16	2,1	0,4	-12,63	-14,73	44,18	216,86
2	2,2	-1,2	-0,66	1,21	0,36	0	0	-2,23	-3,33	6,65	11,06
3	-1,9	1,4	-2,66	3,61	1,96	1,9	-1,4	1,87	3,77	-3,77	14,24
4	0	0	0,16	0,01	2,56	0,2	3,2	-9,17	-9,27	0,00	85,93
5	-0,1	-0,4	0,04	0,01	0,16	0,3	1,2	-2,67	-2,77	-2,77	7,65
6	18	-0,8	-3,6	0,81	0,16	18	-0,8	2,31	3,21	6,43	10,33
7	2,7	1,8	0,54	0,81	0,36	2,7	1,8	7,73	8,63	25,90	74,55
Сумма	27,2	2	-5,34	10,87	5,72	25,2	4,4	-14,77	-14,47	76,62	420,62

Имеем:

Решая данную систему, получим первое уравнение приведенной формы модели:

у₁ = 4,939 х₁+4,96 х₂..

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели, получим:

Для расчета приведенных коэффициентов этой системы по исходным данным дополнительно определяем Расчеты в таблице 2.2.

Применительно к нашему примеру имеем:

,

Откуда второе приведенное уравнение составит:

у₂ = 4,98 х₁+5,42 х₂..

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

Шаг 3. Переходим о приведенной формы модели к структурной форме модели, т. е. к системе уравнений:

Для этой цели из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить х₂, выразив его из второго уравнения приведенной формы модели и подставив в первое:

Тогда

- первое уравнение структурной модели.

Чтобы найти другое уравнение структурной модели из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить х₁, выразив его из первого уравнения и подставив во второе:

Тогда

- второе уравнение структурной модели.

Итак, структурная форма модели имеет вид:

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1. Составление приведенной формы модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ( ).

3. Определение расчетных значений эндогенных переменных, которые находятся в правой части сверхидентифицируемого уравнения структурной формы модели.

4. Определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение экзогенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных.

Для того, чтобы привести вышеприведенную идентифицируемую модель (2.5) в сверхидентифицируемую наложим ограничения на ее параметры, а именно b₁₂ = a₁₁. Тогда она примет вид:

(2.8)

Bыполнив пункты 1 и 2 алгоритма для тех же исходных данных, получим ту же систему приведенных уравнений:

На основе второго уравнения данной системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у₂, т. е. . С этой целью во второе уравнение подставляем значения х₁ и х₂ как отклонения от средних. Оценки для эндогенной переменной у₂, приведены в таблице 2.2.

После того как найдены оценки эндогенной переменной у₂, обратимся к сверхидентифицированному структурному уравнению

.

Заменяя фактические значения у₂ их оценками , найдем значения новой переменной + х₁ = z.

Далее применим МНК к уравнению , т. е. .

Откуда

Таким образом, сверхидентифицированное структурное уравнение оставит:

.

Ввиду того, сто второе уравнение системы (2.7) не изменилось, то его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений, та же:

у₂ = 4,98 х₁ +5,42 х₂..

В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит: