7. Асимметрия и эксцесс.

Расчет данных показателей используется для характеристики кривых распределения, их вытянутость вдоль оси абсцисс- показатели асимметрии, или оси ординат- показатели эксцессов.

Асимметрия – для оценки степени асимметричности применяетсямоментный и структурный коэффициенты асимметрии. В симметричных рядах средние величины равняются моде и равняются медиане. Однако в большинстве своем ряды распределения не симметричны и определяются при помощи показателей асимметрии:

Моментный , где - центральный момент 3 порядка.

.

На направление асимметрии будет указывать знак коэффициента:

- левосторонняя

- правосторонняя.

Под эксцессом понимают островершиность или плосковершинность распределения по сравнению с нормальным распределением при той же силе вариации. Определяется только для симметричных или умеренно асимметричных вариаций.

- плосковершинные

- островершинные.

Квартили – значения вариантов, делящих совокупность на 4 равные части.

Децили – значения вариантов, делящих совокупность на 10 равных частей.

При этом различают верхние и нижние квартили и децили. Формулы для расчета квартилей и децилий похожи на формулу для расчета медианы:

Квартили:

Нижний:

Верхний:

Децили:

Нижний:

Верхний:

8. Теоретические кривые распределения. Кривая нормального распределения и ее построение по эмпирическим данным.

Графическое представление рядов распределения дает представление о форме распределения (полигон, гистограмма). Однако судить о форме распределения по представленным рядам рискованно, т.к. в них может содержаться недостаточное количество единиц для обследования. При увеличении объема изучаемой совокупности полигон или гистограмма сглаживаются и распределение представляет плавную линию – кривую распределения.

Фактическая кривая отличается от теоретической (плавной кривой) и в статистике выдвигаются и проверяются гипотезы о случайности этих расхождений. Среди кривых распределения особое место занимает кривая нормального распределения, которая имеет колоколообразную форму. Кривая нормального распределения имеет 2 точки перегиба, которые находятся на расстоянии средне квадратического отклонения.

В промежуток:

от до попадают 68,3 %

от до попадают 95,4 %

от до попадают 99,7 %.

Кривая нормального распределения описывается следующим уравнением:

выражение - нормированное отклонение.

.

Кривая нормального распределения – ордината, является теоретической частотой . Фактическая частота (эмпирическая) – .

, где - количество элементов в изучаемой совокупности, - расстояние между соседними группами.

Кроме нормального распределения, на практике встречается и распределение Пуассона. Оно присуще дискретным рядам и возникает в тех случаях, когда сами варианты x являются своего рода частотами в ситуациях, которые встречаются крайне редко. В распределениях Пуассона с увеличением значения x вероятность их наступления падает.

Распределения Пуассона выражается следующей зависимостью для расчета теоретической частоты.

.

Распределение Пуассона характерно для редко встречающихся явлений, иногда его называют законом малых чисел.