5. Степенные средние величины.

Средняя величина – вариант x, который обладает наиболее типическими свойствами изучаемой совокупности.

Типовая формула для расчета средней величины:

• если z=1, то получается ср. арифметическая

• если z=0 – ср. геометрическая

• если z=-1 – ср. гармоническая

• если z=2 – ср. квадратическая.

Следующие виды средних величин:

1. Ср. арифметическая:

• Простая, т.е. в совокупности все значения x (признака) встречаются по одному разу , - количество единиц в совокупности.

• Взвешенная (средняя для сгруппированных данных), x встречается более чем один раз. .

Расчет ср. арифметической зависит от вида ряда, в интервальном необходимо найти середину интервала.

Свойства ср. арифметической:

1. средняя из постоянного числа равна постоянному числу.

2. если все частоты увеличить на одно и то же число или уменьшить, то средняя величина от этого не изменится.

3. если варианты x увеличить или уменьшить на постоянное число, то средняя увеличится или уменьшится на это число.

4. если вариант x увеличить или уменьшить в к раз, то средняя величина изменится в к раз.

2. Ср. гармоническая – применяется, когда неизвестна частота, а известно лишь произведение частоты на вариант (М). - применяется наиболее часто для расчета средних цен.

3. Ср. геометрическая – рассчитывают для определения ср. темпов роста изучаемого показателя в рядах динамики. , где - темпы роста цепные, n – количество уровней ряда.

4. Ср. квадратическая – используют для определения вариации ряда, под которой понимается отклонение изучаемого признака от средней величины. , где - ср. квадратическое (дисперсия)

6. Структурные средние величины.

1. Мода ( ) – под ней понимается наиболее часто встречающийся вариант. Мод может быть несколько. Расчет моды зависит от того, в каком ряду она рассчитывается (в дискретном или в интервалом).

1. В дискретном ряду (ищем , находим по нему интервал и строим полигон).

2. В интервальном ряду

   • Находим

   • Находим по модальный интервал

   • Находим по формуле: , где - начало модального интервала

- величина модального интервала

- частота модального интервала

- частота до модального интервала

- частота после модального интервала

2. Медиана ( )- вариант, делящий ранжированный ряд по полам. Для того, что бы найти медиану, находят ее порядковый номер:

- для четного количества.

- для нечетного количества.

Затем находят ряд накопленных частот. Расчет медианы зависит от того, в каком ряду она рассчитывается.

1. Для дискретного ряда: - находим

- находим накопленную частоту

- по и находим .

2. Для интервального ряда. В интервальном ряду медиану рассчитывают по формуле:

, где

- начало медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- частота накопленная до медианного интервала;

В интервальном ряду можно рассчитывать графически, построив кумуляту по накопленной частоте.