1. Полиномиальные

• Y_t = a₀ + a₁t (полином первой степени);

• Y_t = a₀ + a₁t +a₂t² (полином второй степени);

• Y_t = a₀ + a₁t + a₂t² + a₃t³ (полином третьей степени) и т.д.

Они, как правило, применяются для тех процессов, в которых последующее развитие зависит от сложившихся тенденций, но не зависит от достигнутого уровня показателя.

2. Экспоненциальные кривые роста в отличие от полиномиальных учитывают не только тенденции прошлого и настоящего, но и достигнутый уровень показателя.

Простая экспонента

Y_t = a ∙ b^t

(если b больше единицы, то функция возрастает с течением времени, если b меньше единицы – функция убывает).

Модифицированная экспонента

Y_t = k +a ∙ b^t

3. S-образные кривые роста применяются для описания таких процессов, которые сначала медленно растут, затем ускоряют свой рост, после чего происходит его замедление, а в отдельных случаях и снижение соответствующего показателя.

Кривая Гомперца

a, b – положительные параметры, причем b<1

k – параметр, который характеризует асимптоту функции.

Логистическая кривая (Перла-Рида)

После выбора типа кривой роста необходимо произвести расчет параметров функций (провести идентификацию функции).

Для определения параметра a и b используют метод наименьших квадратов подобрать значения параметров функции, чтобы сумма квадратов отклонений расчетных значений от фактических была минимальной.

На основе метода наименьших квадратов можно построить систему уравнений для определения искомых параметров.

Расчет параметров линейной функции и оценка ее адекватности

Для оценки адекватности линейных и ряда других кривых роста применяются такие критерии как коэффициент корреляции r, коэффициент детерминации R², средняя относительная ошибка аппроксимации А, стандартная ошибка регрессии S, стандартные ошибки параметров уравнения регрессии S_b и Sa, t-статистики (t-критерии Стьюдента) – t_b и t_a, критерий Дарбина-Уотсона DW.

Коэффициент корреляции изменяется от -1 до 1.

13. Математическое моделирование социально-экономических процессов.

Метод моделирования предполагает построение математической модели и ее использование для разработки плана или прогноза на основе предварительного изучения объекта или процесса.

Укрупненно прогнозирование с использованием моделей осуществляется по следующим этапам:

1. разработка модели;

2. экспериментальный анализ модели;

3. сопоставление прогнозных результатов с практическими показателями;

4. корректировка модели.

В области прогнозирования и планирования применяются различные типы экономико-математических моделей:

По уровню управления:

• модели мировой экономики;

• макроэкономические модели;

• мезоэкономические (межотраслевые, межрайоные, отраслевые, региональные);

• микроэкономические.

По направлениям развития экономики:

• воспроизводства основных фондов;

• трудовых ресурсов;

• цен и инфляции;

• инвестиционной деятельности;

• внешнеэкономических связей и др.

По используемому математическому аппарату:

• балансовые;

• экономико-статистические и эконометрические;

• модели оптимального планирования;

• стохастические;

• модели теории игр;

• сетевого планирования;

• имитационные, комплексные.

На макроуровне в качестве балансовых моделей используются различного рода статические и динамические модели межотраслевого баланса, которые позволяют прогнозировать:

• объемы валового выпуска по отраслям;

• объемы промежуточного потребления;

• объем валового внутреннего продукта;

• показатели динамики цен (индексы цен по отраслям);

• степень межотраслевых взаимодействий;

Кроме этого динамические модели отраслевого баланса позволяют также прогнозировать инвестиционные потоки.

Экономико-статистические модели строятся на основе анализа динамических рядов показателей регрессионными методами и позволяют устанавливать количественные характеристики связи и взаимозависимости между отдельными показателями. Используются однофакторные экономико-статистические модели и многофакторные.

Однофакторные

Эконометрические модели представляют собой систему регрессионных уравнений, описывающих взаимосвязи между основными показателями развития экономики.

Модель оптимального планирования позволяет определять наилучшие стратегии развития путем определения таких вариантов, которые минимизируют затраты либо максимизируют полезный эффект. Модель оптимального планирования состоит из целевой функции и системы ограничений.

В социально-экономическом планировании и прогнозировании применяются модели линейного программирования, нелинейного программирования, а также динамического программирования.

Стохастические (вероятностные) модели позволяют прогнозировать процессы, которые носят вероятностный характер и не могут быть описаны четко определенными зависимостями.

К таким моделям относятся:

• модели управления запасами;

• модели теории систем массового обслуживания;

• другие.

В результате их реализации определяются наиболее обоснованные стратегии поведения в ситуациях, когда отсутствует возможность однозначно определить значения важнейших параметров развития социально-экономической системы.

Модели теории игр (модели принятия решений) применяются в условиях неопределенности или ситуациях, когда интересы сторон не совпадают, при этом каждая из сторон старается выбрать свою стратегию поведения таким образом, чтобы минимизировать свои затраты или потери или максимизировать полезный эффект.

В социально-экономическом прогнозировании, как правило, используются модели теории игр с одним активным игроком (игры с «природой»).

Модели сетевого планирования используются для прогнозирования и планирования сложных многоступенчатых процессов (комплексов работ), когда необходимо в минимальные сроки выполнить этот комплекс работ или затратить как можно меньше ресурсов на его выполнение.

Комплексные или имитационные модели наиболее распространены в социально-экономическом прогнозировании и планировании.

Комплексные имитационные модели позволяют детально описывать происходящие в сложных социально-экономических системах процессы и имитировать на компьютере поведение исследуемой социально-экономической системы в прогнозных периодах при тех или иных параметрах экзогенных и управляющих переменных. В результате имеется возможность просчитать бесконечное количество вариантов развития экономической системы в будущем, изменяя значения одного или нескольких входных параметров.