Уменьшения случайной погрешности

Уменьшение влияния случайных погрешностей на результат измерений достигается путем многократных измерений величины в одинаковых условиях. Если принять, что систематические погрешности близки к нулю, то наиболее достоверное значение, которое можно приписать измеряемой величине на основании ряда измерений, есть среднее арифметическое из полученных значений.

Для уменьшения влияния случайных погрешностей на результат измерения рекомендуется производить измерение данной величины в одинаковых условиях и по возможности большее число раз и из полученных значений брать среднее арифметическое, которое считается наиболее вероятным значением измеренной величины, так как случайные погрешности, одинаковые по абсолютной величине, но разные по знакам, при большом числе измерений встречаются одинаково часто. [

Для уменьшения влияния случайных погрешностей измерения при каждом сочетании пикового ускорения и длительности действия проводят три-четыре измерения.

Для уменьшения влияния случайных погрешностей показаний индикатор многократно проверяют в каждой точке шкалы и затем вычисляют среднее значение.

Как уже указывалось для уменьшения влияния случайных погрешностей на результат анализа обычно проводят не одно, а два и более определения интересующего нас элемента в данном веществе. Как правило, ни при одном из этих определений не получается истинного значения определяемой величины, так как все они содержат ошибки. Поэтому задачей анализа является нахождение наиболее вероятного значения определяемой величины и оценка точности полученного результата.

Как уже указывалось для уменьшения влияния случайных погрешностей на результат анализа обычно проводят не одно, а два или несколько определений интересующего нас элемента в данном веществе. Как правило, ни при одном из этих определений не получается истинного значения определяемой величины, так как все они содержат ошибки. Поэтому задачей анализа является нахождение наиболее вероятного значения определяемой величины и оценка степени точности полученного результата. Нормальное ( по закону Гаусса распределение случайных ошибок.

Как уже указывалось для уменьшения влияния случайных погрешностей на результат анализа обычно проводят не одно, а два или несколько определений интересующего нас элемента в данном веществе. Как правило, ни при одном у из этих определений не получается истинного значения определяемой величины, так как все они содержат ошибки. Поэтому задачей анализа является нахождение наиболее вероятного значения определяемой величины и оценка степени точности полученного результата.

Повышение точности результата измерений может быть достигнуто исключением грубых и систематических погрешностей из результатов измерений и уменьшением влияния случайных погрешностей. При этом во всех случаях грубые погрешности ( промахи) следует исключать из результатов измерений. Систематические погрешности следует исключать тогда, когда это обеспечивает заметное повышение точности. Способы уменьшения влияния случайных погрешностей изложены в. Необходимо иметь в виду, что, если принять за результат измерений среднее арифметическое из ряда - измерений, точность повышается в У - п раз.]

В ряде случаев - при измерении заведомо постоянной величины - возникает задача повышения точности измерения за счет уменьшения влияния случайных погрешностей, для чего проводят ряд повторных наблюдений. Повторные наблюдения имеет смысл производить в том случае, если систематические погрешности исключены или если они значительно меньше случайных погрешностей, так как систематические погрешности нельзя исключить увеличением числа наблюдений. Кроме того, необходимо также учитывать, что погрешность результата измерения, обусловленная случайными погрешностями, не может быть снижена до значения, меньшего порога чувствительности используемых средств изменений.

Повышение точности измерительных приборов достигается за счет автоматической компенсации ( исключения) систематической погрешности, в частности автоматической установки нуля перед началом измерений, автоматического выполнения градуировочной операции ( самокалибровки), осуществления самоконтроля, уменьшения влияния случайных погрешностей путем проведения многократных измерений с последующим усреднением их результатов, выявления и исключения грубых погрешностей, выведения на дисплей информации о числовых значениях погрешностей по ходу измерений. [14]

Косвенный метод

Косвенный метод измерения - значение искомой величины находится по результатам измерения других, более доступных для измерения размеров, связанных с искомой определенной зависимостью.

Косвенный метод измерения, при котором значения искомой величины или отклонения от нее определяются по результатам измерений другой величины, связанной с искомой.

Косвенный метод измерения обычно используется при неточных работах в тех случаях, когда применение прямого метода затруднительно.

Косвенный метод измерения азимутальных углов скважин осуществляется с помощью приборов, действующих по принципу горизонтальности уровня жидкости или отвеса, спускаемых ориентированно.

Косвенный метод измерения при работе на различных станках ( шлифовальных, токарных, фрезерных и др.) осуществляется с помощью ограничителей, упоров и лимбов - жестких, микрометрических и индикаторных.

Косвенный метод измерения требует менее сложного оборудования и меньших затрат времени на измерения. Однако он менее точен, чем прямой метод, особенно при больших углах скоса потока, и требует предварительной тарировки. Прямой метод при тщательном изготовлении координатников и насадка дает возможность измерить угол атаки потока с погрешностью порядка 0 1 -: - 0 2, но требует значительных затрат времени на проведение самих измерений.

Косвенный метод измерения характеризуется оценкой значения искомой величины или отклонений от нее по результатам измерений другой величины, связанной с искомой определенной зависимостью. Примером косвенного метода может явиться определение диаметра крупногабаритной детали по результатам измерения угла, под которым видна из какой-либо точки окружности детали дута этой окружности, имеющая известную длину

Метод амперметра вольтметра

Метод амперметра-вольтметра может быть использован для измерения разных по значению величин сопротивлений. Этот метод основан на раздельном измерении тока и напряжения с последующим вычислением сопротивления. Метод прост, надежен, но обладает невысокой точностью, ограниченной классом точности применяемых приборов и методической погрешностью, вносимой этими приборами. В зависимости от значения сопротивления для измерения тока могут быть использованы миллиамперметры и микроамперметры, гальванометры, милливольтметры и микровольтметры, но при этом метод сохраняет свое название - метод амперметра-вольтметра.

Метод амперметра-вольтметра получил широкое распространение при измерении сопротивлений как наиболее простой и доступный.

Метод амперметра-вольтметра обладает тем преимуществом, что он весьма прост в выполнении. Кроме того, при измерениях по этому методу можно применять зеркальные электроизмерительные приборы и проводить непрерывную оптическую запись показаний приборов на светочувствительной бумаге, намотанной на барабан. Это позволяет наблюдать изменения, происходящие в сплаве непосредственно в процессе термической обработки - при нагреве или охлаждении.

Метод амперметра-вольтметра обладает тем преимуществом, что он весьма прост в выполнении.

Метод амперметра-вольтметра является весьма распространенным методом измерения в практике наладочных работ.

Метод амперметра-вольтметра может быть использован для измерения разных по значению величин сопротивлений. Этот метод основан на раздельном измерении тока и напряжения с последующим вычислением сопротивления. Метод прост, надежен, но обладает невысокой точностью, ограниченной классом точности применяемых приборов и методической погрешностью, вносимой этими приборами. В зависимости от значения сопротивления для измерения тока могут быть использованы миллиамперметры и микроамперметры, гальванометры, милливольтметры и микровольтметры, но при этом метод сохраняет свое название - метод амперметра-вольтметра.

Метод амперметра-вольтметра основан на одновременном измерении напряжения и силы тока, протекающего через обмотку. Особое значение при этом придается классу точности приборов, используемых для измерений, и схеме их соединения. При измерении сопротивлений меньших 1 Ом наиболее достоверные результаты получаются при соединении приборов класса точности не ниже 0 5 по схеме, приведенной на рис. 269, где вольтметр подключен непосредственно к измеряемому сопротивлению. Принципиальная схема одинарного моста постоянного тока. Измерение методом амперметра-вольтметра следует производить тщательно, так как незначительная ошибка может привести к неправильным выводам. Отсчеты по приборам следует производить одновременно, при этом во избежание ошибки следует делать три замера, взяв затем среднее знг-чение трех показаний. При измерении необходимо обращать внимание на качество контактов, идущих к измерительным приборам, а также рекомендуется производить замер сопротивления при установившемся тепловом состоянии. Приборы, применяемые при измерении, должны быть не ниже класса 1, шкала прибора, а также величины тока и напряжения должны быть выбраны так, чтобы можно было производить отсчет во второй половине шкалы.

Погрешности прямых измерений

Рассмотрим ситуацию, наиболее типичную при выполнении физического эксперимента. Допустим, многократным прямым измерением получены n значений постоянной величины x :

x1, x2, ….., xi,......, xn . (4.1)

Все отдельные измерения выполнены одним методом с одинаковой степенью тщательности (их называют равноточными), но результаты имеют разброс, т.е. измеренные значения величины отличаются друг от друга. Хотя не исключено, что среди них могут оказаться и одинаковые. Набор данных (4.1) подлежит совместной обработке для определения окончательного результата многократного измерения и оценивания его погрешности.

Прежде всего должны быть выявлены промахи, а соответствующие им результаты отброшены. С этой целью бывает достаточно внимательно просмотреть таблицы результатов, обращая внимание на «неестественные» значения измеряемой величины, которые резко отличаются от других.

Следующим этапом обработки является выявление систематических погрешностей, которые вычисляют и учитывают в виде поправок к результатам.

Когда промахи и систематические погрешности устранены, в данных (4.1) остается учесть только случайные и приборные погрешности. Перейдем к изучению правил работы с ними.

Случайные погрешности

Случайные погрешности, как уже отмечено, проявляются в разбросе результатов отдельных измерений постоянной величины. Для определения разброса (и оценивания погрешности результата отдельного измерения), необходимо вычислить среднее квадратичное отклонение, которое находят согласно (3.4). С увеличением количества измерений n оценка значения величиныs практически перестает зависеть от n, а это означает, что значение s известно точнее, а значит, в итоге уменьшается неточность при оценивании погрешности отдельного измерения. С ростом n также стабилизируется оценка , находимая по формуле (3.2). Следовательно, должна уменьшаться погрешность окончательного результата многократного измерения, за который принимают среднее значение .

Связь среднего квадратичного отклонения s( ) окончательного результата (другими словами, погрешности определения среднего значения) и среднего квадратичного отклонения s отдельного измерения задает соотношение

Важным практическим выводом из (4.2), который относится к многократным измерениям, содержащим только случайные ошибки, является заключение о возможности уменьшить погрешность окончательного результата при увеличении количества n отдельных измерений. Однако также следует помнить, что повышение точности никогда не дается бесплатно. Так, чтобы узнать дополнительную цифру в , т.е. повысить точность в 10 раз, количество измерений необходимо увеличить в 100 раз!

Рассмотрим самый распространенный случай нормального распределения как результатов отдельных измерений xi , так и среднего значения . За оценку погрешности окончательного результата многократного измерения примем величину Dx, задающую симметричный относительно интервал значений от – Dx до + Dx , называемый доверительным интервалом .

Вероятность найти значение измеряемой величины в указанном интервале носит название доверительной вероятности a:

Нормальное распределение описано в предыдущем разделе. Для него в табл.1 Приложений приведены доверительные вероятности для доверительных интервалов, размеры которых выражены в долях среднего квадратичного отклонения

Если понятие доверительного интервала использовать применительно к отдельному измерению, то в (4.4) под sтабл следует понимать среднее квадратичное отклонение s результата этого отдельного измерения. Если же отнести доверительный интервал к многократному измерению, то под sтабл необходимо подразумевать среднее квадратичное отклонение окончательного результата многократного измерения, т.е. s( ). С помощью указанной таблицы случайную погрешность окончательного результата можно найти, воспользовавшись записью

(Dx)случ = e-s() = , (4.5) где величину e берут из таблицы для заданного значения доверительной вероятности.

Значение случайной погрешности однозначно определено только после задания двух численных значений: значения доверительного интервала, являющегося оценкой погрешности, и соответствующего значения доверительной вероятности. Просто «погрешность» не существует, так как без задания соответствующей ей доверительной вероятности неизвестно насколько надежен полученный результат.

x = ± Dx, a =….

Сделаем главный вывод: увеличение надежности результата измерения есть следствие расширения доверительного интервала, хотя, на первый взгляд, происходит совсем обратное. Но ведь чем шире доверительный интервал, тем вероятнее, что измеряемая величина не находится за его пределами! Выбор конкретного значения доверительной вероятности зависит от характера выполняемых измерений. При обычных измерениях достаточно ограничиться вероятностью 0,68 или 0,95 – им соответствуют значения e равные 1 и 2. Для измерений, к которым предъявляют высокие требования по надежности, следует использовать a = 0,997 , которому соответствует e = 3 (так называемое правило трех стандартов). При обработке результатов лабораторных работ рекомендуется применять доверительную вероятность a = 0,68, поэтому нет нужды использовать ее в записи x= ± Dx. Более того, a=0,68 – принятый в мировой практике уровень доверительной вероятности, который никогда не оговаривают специально.

В эксперименте значение s() оценивают исходя из результатов отдельных измерений, количество которых обычно не превышает 5 – 10. Поэтому точность оценивания s() невелика. Это вносит дополнительную неопределенность в окончательный результат многократного измерения. Чтобы ее учесть, следует расширить границы доверительного интервала, заданного выше для точно известной величины s(). Понятно, что меньшему количеству отдельных измерений должен сопоставляться более широкий доверительный интервал. Вместо (4.5) необходимо использовать другое выражение

(Dx)случ = t(a, n)s() , (4.6)

где t(a, n) – коэффициенты, зависящие от полного количества измерений n и заданного значения доверительной вероятности a. Величины t(a,n) носят название коэффициентов Стьюдента. Они вычислены в статистике для различных значений a и n – их можно найти

В таблице значение коэффициента расположено на пересечении строки с количеством отдельных измерений n и столбца с выбранным значением доверительной вероятности a . Изучив таблицу, несложно заметить, что при увеличении количества измерений коэффициенты практически совпадают с использованными выше величинами e для того же значения доверительной вероятности a . Это есть следствие перехода от оценок параметров нормального распределения к их точному заданию, что реализуется только при очень большом количестве выполненных измерений.

Погрешности косвенных измерений

В большинстве экспериментов используют косвенные измерения. Исследуемую величину f определяют по результатам прямых измерений других физических величин, например, x,y,z,..., с которыми она связана заранее установленным функциональным математическим соотношением

f = f(x, y, z, …) . (5.1)

Эта связь должна быть известна экспериментатору. Помимо данных прямых измерений, параметрами (5.1) могут оказаться другие величины, точно заданные или полученные в других измерениях, – они составляют набор исходных данных. Выражение (5.1), записанное в явном виде, называют рабочей формулой и используют как для оценивания результата косвенного измерения, так и для оценивания погрешности измерения Df. Естественно, обе оценки связаны с окончательными результатами прямых измерений ±Dx, ±Dy, ±D z, …… . Обычно, чтобы получить (5.1), используют модельное описание и, во избежание модельных погрешностей при измерении f, оно должно адекватно отражать исследуемое физическое явление. Если модель точна, то модельные погрешности исключены, а косвенное измерение дает надежные результаты.

Как и в предыдущем разделе, рассмотрим случай, когда погрешности измерения величин x, y, z, … носят только случайный характер и соответствуют нормальному закону распределения. Кроме этого, погрешность каждого отдельно взятого прямого измерения независима, т.е. не подвержена воздействию случайных факторов, вызывающих погрешности других прямых измерений, выполненных в эксперименте. Такие измерения и сами измеряемые величины носят название статистически независимых, или просто независимых. При выполнении указанных условий среднее значение величины f определяют на основе (5.1), исходя из средних значений величин x, y, z, … :

= f(, , , …..) . (5.2)

Если точность прямых измерений достаточно высока, т.е. Dx<<, Dy<< , D z<< , ... , то погрешности результатов прямых измерений переносятся на результат косвенного измерения как независимые нормальные распределения f вокруг по каждому из аргументов функции (5.1). Строгое обоснование этого утверждения можно найти в математической статистике. Погрешность измерения f вследствие малых случайных вариаций

только величины x: Dfx=fx'Dx ,

только величины y: Dfy=fy'Dy , (5.3)

только величины z: Dfz=fz'Dz , и т.д.

Здесь fx', fy', fz'….. – производные функции f(x,y,z,…) по соответствующим переменным, являющиеся частными производными и обозначаемые в виде

fx'=, fy'=, fz'=, …… .

Аргументами в вычисленных производных (5.3) служат оценки средних значений , , …. . Совместное распределение f вокруг , которое учитывает отдельные распределения по каждому из аргументов (5.1), должно определять погрешность косвенного измерения D f. Эти распределения нормальны и независимы, поэтому дисперсия их совместного распределения равна сумме их дисперсий, что строго доказано в математической статистике. Тогда среднее квадратичное отклонение совместного распределения, вычисляемое как корень из дисперсии, следует находить из выражения:

Это выражение имеет общий характер и его можно использовать для оценивания погрешности косвенного измерения, выполненного при любом виде функции f(x,y,z,…). Однако следует твердо помнить, что при непосредственных расчетах в (5.4) необходимо подставлять погрешности Dx, Dy, Dz …., найденные для одного и того же значения доверительной вероятности. Погрешность косвенного измерения также будет соответствовать этому значению доверительной вероятности. Рекомендуется использовать значение вероятности a = 0,68. Применим (5.4) к некоторым распространенным зависимостям. Интерес представляют те случаи, когда с помощью (5.4) удается установить функциональную связь между погрешностями прямых измерений и погрешностью косвенного измерения. Таблица 5.1 содержит выражения, задающие такую связь.

Рабочая формула Формула погрешности

В качестве примера к рассмотренному материалу проведем обработку результатов эксперимента по измерению ускорения свободного падения g. В нем выполнено многократное прямое измерение времени падения t стального шарика с высоты h (двенадцатый этаж высотного дома), которая также определена многократным прямым измерением (см. пример предыдущего раздела). Экспериментальные результаты:

t = (2,43±0,11) c , h =(28,85±0,20) м .

Рабочая формула для определения g имеет вид g = .

Из анализа погрешностей эксперимента видно, что основной вклад в Dg дает Dt. Поэтому повышение точности измерения ускорения свободного падения возможно только после увеличения точности измерения времени падения шарика.