Свойства векторного произведения.

Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы  , то на основании свойств определителя легко обосновываются следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность  ;

2. свойство дистрибутивности   или  ;

3. сочетательное свойство   или  , где   - произвольное действительное число.

Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению   и  . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому,  , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

5. Вычисление векторного произведение двух векторов,заданных своими координатами.

Действие обозначается следующим образом:  .

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО: 

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР:  , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор.

Определение: Векторным произведением   неколлинеарных векторов  , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР  , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор   ортогонален векторам   , и направлен так, что базис   имеет правую ориентацию. 

6. Смешанное произведение трех векторов и его свойство

Сме́шанное произведе́ние   векторов   — скалярное произведение вектора   на векторное произведение векторов   и  : .Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами 

• Свойства: Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

• Смешанное произведение   в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов   и  :

• Смешанное произведение   в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов   и  , взятому со знаком "минус":

В частности,

• Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

• Геометрический смысл — Смешанное произведение   по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами   и  ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

• Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими^[1]:215.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа

7. Геометр. Смысл смешанного произведения

Модуль смешанного произведения   - это произведение площади основания на высоту параллелепипеда, построенного на векторах   и  .

Следовательно, абсолютная величина смешанного произведения векторов представляет собой объем параллелепипеда:  . В этом заключается геометрический смысл смешанного произведения векторов.