11. Аналіз чутливості функцій попиту та пропозиції до змін цінових параметрів.

Проаналізуємо отримані результати. Рівність показує зміну випуску в залежності від зміни ціни на продукцію. Оскільки матриця Гессе від’ємно визначена, то матриця також від’ємно визначена, тому і

(3.24)

Це означає, що випуск є монотонно зростаючою функцією ціни .

Із (3.24) та (3.12) випливає нерівність

(3.25)

Оскільки , то обов’язково знайдеться хоча б один ресурс , для якого , тобто зростання ціни випуску обов’язково приводить до зростання попиту на деякі ресурси.

Означення 3.2. Ресурс називається малоцінним, якщо , тобто якщо зростання ціни випуску приводить до падіння попиту на нього.

Очевидно, що не всі фактори виробництва одночасно можуть бути малоцінними. З урахуванням (3.22) та (3.21) маємо:

тобто

(3.26)

Співвідношення (3.26) стверджують, що зростання ціни продукції для немалоцінних ресурсів обов’язково приводить до падіння оптимального випуску, якщо ціни на дані ресурси ростуть. Зокрема, зростання ціни за малоцінний ресурс приводить до зростання випуску.

Підставляючи (3.26) у (3.25), отримаємо

Отже, з того, що випливає Інакше кажучи, зростання ціни на деякий ресурс приводить до падіння випуску.

Згідно з (3.23) матриця від’ємно визначена і симетрична, зокрема її елементи на головній діагоналі від’ємні: Це означає, що зростання ціни на деякий ресурс завжди приводить до падіння попиту на нього.

Оскільки матриця симетрична, то

(3.27)

тобто вплив зміни ціни на -й ресурс на зміну попиту на -й ресурс такий самий, як і вплив зміни ціни на -й ресурс на зміну попиту на -й ресурс.

Означення 3.3. Затрати -го та -го ресурсів є взаємозамінювальними (взаємодоповнювальними), якщо

Із (3.27) випливає, що для взаємозамінювальних ресурсів та зростання ціни на ресурс приводить до падіння попиту на ресурс та зростання попиту на ресурс , а для взаємодоповнюючих ресурсів та зростання ціни на ресурс приводить до одночасного падіння попиту на обидва ресурси та .

12. Неокласичні моделі багатопродуктової фірми в умовах досконалої конкуренції.

Нехай, як і раніше, –простір витрат, але фірма є багатопродуктовою, тобто виробляє видів продукції (вектор випуску ). Є різні підходи до опису технологічних зв’язків між вектором випуску та вектором затрат. Один з них ґрунтується на використанні векторної ВФ

(3.28)

де – частинна ВФ, , .

Якщо – вектор цін на продукцію, – вектор цін на витрати, то модель максимізації прибутку багатопродуктової фірми матиме вигляд:

(3.29)

З урахуванням (3.28) у розгорнутій формі модель (3.29) запишеться так:

(3.30)

У випадку, коли частинні виробничі функції є неокласичними, тобто неперервно деференційовними та задовольняють неокласичним умовам, необхідні умови екстремуму (умови Куна-Таккера) для моделі (3.30) формалізуються системою співвідношень

(3.31)

Як і у випадку однопродуктової моделі, змістовним є припущення про те, що при оптимальному розподілі ресурсів всі вони задіяні у виробництві, тобто При цьому єдиність розв’язку моделі (3.30) буде забезпечена строгою угнутістю виробничих функцій. Із (3.31) випливає, що в такій ситуації

(3.32)

Співвідношення (3.32) дозволяють побудувати функції попиту на ресурси

(3.33)

та функції пропозицій всіх видів продукції

(3.34)

Подальше дослідження функцій (3.33) і (3.34) та якісний аналіз моделі на основі цих функцій здійснюється аналогічно до того, як це було зроблено для однопродуктової моделі.

У випадку більш агрегованого підходу до моделювання багатопродуктової фірми частинні ВФ задають неявно:

(3.35)

Щоб відобразити загальні закономірності виробництва, будемо вважати, що

(3.36)

Очевидно, умови (3.36) гарантують невід’ємність похідних , які обчислюються за допомогою неявної функції (3.35).

З урахуванням (3.35) та прийнятих раніше позначень модель максимізації прибутку багатопродуктової фірми набуде вигляду

(3.37)

Модель (3.37) є задачею математичного програмування з додатковим обмеженням-рівністю (3.35). Без умов невід’ємності (3.37) є звичайною задачею на умовний максимум, що розв’язується шляхом максимізації функції Лагранжа

де – множник Лагранжа. Отже, маємо задачу максимізації функції Лагранжа з умовою невід’ємності та . Необхідні умови оптимальності аналогічні до (3.2) чи (3.31):

Вважаючи, що всі витрати використовуються та всі види продукції випускаються , а закономірності виробництва адекватні вище прийнятим , від умов (3.38) приходимо до умов

(3.39)

Система (3.39) є визначеною, оскільки є системою рівнянь відносно невідомих. За допомогою (3.39) можна також побудувати функції попиту на всі види ресурсів та функції пропозиції на всі види продукції.