7. Поняття виробничої функції. Класифікація та сфера застосування виробничих функцій.

У 1928 р. появилась стаття американців економіста П. Дугласа і математика Д. Кобба „Теорія виробництва”, яка, як прийнято вважати в науковому світі, започаткувала розвиток теорії виробничих функцій. В цій статті була зроблена спроба емпіричним шляхом визначити залежність обсягу продукції , яка вироблялась в обробній промисловості США, від затрачених на це виробництво обсягів капіталу та праці . Були використані статистичні дані за 1899-1922 рр. Дослідники поставили перед собою такі завдання:

• визначити параметричний клас функцій, які найбільш точно описують співвідношення між вказаними величинами;

• знайти числові параметри, які задають конкретну функцію цього класу;

• порівняти числові результати, отримані на основі побудованої теоретичної залежності з реальними даними.

Д. Кобб запропонував степеневу функцію , де За допомогою методу найменших квадратів була розв’язана задача апроксимації (наближення) реальних даних, в результаті якої було встановлено, що Застосування та аналіз отриманих результатів на практиці показали, що сформульовані вище задачі можуть успішно розв’язуватись за допомогою функції Кобба-Дугласа. З тих пір і почала формуватись теорія виробничих функцій – економіко- математичних моделей залежності результатів виробництва від факторів, що обумовлюють виробничий процес.

В теорії виробничих функцій (ВФ) виробничий процес розглядається з позицій перетворення ресурсів у продукцію, тобто в основу поняття ВФ покладено кібернетичний принцип відкритої і в загальному випадку динамічної системи (принцип „темної скриньки”), на виході якої маємо продукцію, а на вході – ресурси виробництва.

Виходячи із сказаного вище ВФ – це формалізована засобами економіко-математичного моделювання залежність між вхідними та вихідними (екзогенними та ендогенними) змінними даної системи. Ця залежність повинна бути закономірною і стійкою. Дамо більш строге означення ВФ.

Означення 2.1. Нехай – простір виробничих витрат, а – простір результатів виробництва. Тоді виробничою функцією називається відображення

Нижче будемо оперувати лише з однозначним відображенням , яке є скалярною числовою функцією і відображає однопродуктове виробництво.

Зазначимо також, що кожний виробничий процес здійснюється на основі певної технології, тобто сукупності способів переробки сировини, матеріалів, напівфабрикатів у готову продукцію. Поняття технології як правило відноситься до виробництва одного виробу певного типу. Сучасне виробництво в абсолютній більшості випадків є багатономенклатурним, тому виробничий процес реалізується множиною різних технологій. Це дає можливість розподіляти ресурси між окремими технологіями, що значно послаблює жорсткість залежності між вхідними та вихідними параметрами виробництва. При моделюванні виробничих процесів як правило розглядаються агреговані параметри виробництва, тому результат виробничого процесу визначається агрегованою технологією, розмірами груп ресурсів і організаційно-економічними обмеженнями. В зв’язку з цим прийнято говорити про агреговану економічну технологію. В теоретичних дослідженнях виробничих процесів вживають також термін „абстрактна технологія”.

На сьогодні в економіко-математичних дослідженнях можна виділити два основних підходи до моделювання ВФ – теоретичний і прикладний (емпіричний). Сутність першого полягає у глибокому вивченні причинно-наслідкових зв’язків між результатами і факторами виробництва, закономірностей, які властиві виробничим технологіям та процесам у цілому і які повинні бути адекватно відображені у моделі ВФ, побудова якої зводиться до побудови невідомої специфікації на основі структурних та системних властивостей досліджуваного об’єкта. Підкреслимо, що побудова математичної конструкції (специфікації) ВФ, яка б адекватно відображала природу і динаміку економічного об’єкта (процесу, явища) є однією з найскладніших проблем моделювання. Ідентифікація (уточнення) моделі відбувається на основі статистичної інформації.

Другий підхід – це використання для апроксимації статистичних даних многочленів. Із відомої теореми Вейєрштраса випливає, що для довільної неперервної функції існує многочлен який наближає її з наперед заданою похибкою наближення. Зручність такого підходу полягає в тому, що не потрібно висувати ніяких гіпотез про абстрактну технологію. Це є чисто статистичний підхід. Теоретичний аналіз при такому підході практично відсутній. Обидва розглянуті підходи до процесу моделювання ВФ взаємно доповнюють один одного. Оцінка параметрів полінома здійснюється, як правило економетричними методами. При оцінюванні параметрів ВФ, в яких явно відображені властивості абстрактної технології, приходиться використовувати більш складний математичний апарат, наприклад, методи нелінійної регресії, методи умовної оптимізації тощо.

При моделюванні ВФ слід керуватись такими практичними критеріями:

• якщо запас гіпотез про абстрактну технологію вичерпаний і ні одна з них не відповідає наявному емпіричному матеріалу, то тоді застосування полінома є оправданим;

• якщо для досягнення заданої точності наближення потрібен поліном високого степеня, що приводить нас до збільшення числа коефіцієнтів полінома (а значить до зменшення числа ступенів свободи вибірки), то в такому випадку більш надійною може виявитись компактна ВФ в явному вигляді, що відображає абстрактну технологію.

Властивості та характеристики виробничих функцій.

Як уже було сказано вище, виробничий процес здійснюється за певною технологією. Властивості цієї технології повинні бути перенесені на властивості ВФ, які власне моделюють відповідний процес. Частіше всього використовується ВФ , властивості якої відображають основні економічні закономірності виробництва та конкретизуються наступними аксіомами (припущеннями).

Аксіома відсутності „рогу достатку”: кожний з ресурсів потрібний хоча б в малих кількостях, тобто при відсутності хоча б одного ресурсу виробництво неможливе.

З цієї аксіоми випливає, що , якщо існує , для якого . Інакше кажучи повна відсутність -го ресурсу не може бути компенсована іншими ресурсами.

Аксіома монотонності: існує підмножина простору витрат, в якій при збільшенні затрат виробничих ресурсів випуск продукції не зменшується.

Зміст цієї аксіоми полягає у тому, що , якщо (нерівність виконується для кожної компоненти). У випадку, коли функція є диференційовною, аксіома монотонності може бути формалізована співвідношеннями

(2.1)

На перший погляд дана аксіома є очевидною, але вона виконується не завжди. Наприклад, при збільшенні кількості міндобрив на одиницю площі виробництво зерна спочатку росте, але потім буде спадати. Ту підмножину простору витрат , на якій аксіома монотонності виконується, називають економічною областю.

Аксіома угнутості: існує опукла підмножина економічної області, в якій збільшення кількості одного ресурсу при фіксованих кількостях інших ресурсів не призводить до зростання його граничної ефективності.

Ця аксіома стверджує, що ВФ є опуклою вгору (угнутою) функцією в деякій опуклій підмножині економічної області. Для двічі неперервно диференційовної функції умова угнутості ВФ еквівалентна недодатній визначеності матриці Гессе .

У випадку, коли використовується лише один ресурс, вимога угнутості еквівалентна недодатності другої похідної. На практиці часто використовують строго угнуті функції, тоді йдеться про від’ємну визначеність матриці Гессе (або від’ємну другу похідну).

Зазначимо також, що аксіома угнутості має цілком розумне обґрунтування. Наприклад, нехай на деякому підприємстві кожний робітник обслуговує декілька станків. Якщо кількість станків буде збільшуватись, а кількість робітників залишатись незмінною, то це приводить до росту кількості станків на одного робітника. На перших порах це може підвищити рівень випуску продукції, але з часом станки будуть використовуватись менш ефективно (деякий час будуть простоювати). Інакше кажучи, зростання обсягу продукції буде супроводжуватись падінням граничної ефективності використання одного з ресурсів (виконуються умови (2.1) і (2.2)). Звичайно, така закономірність спостерігається лише при відсутності якісних змін (нових технологій) у виробництві.

Аксіома однорідності: обсяг випуску продукції характеризується постійною віддачею від розширення масштабів виробництва.

Дана аксіома дозволяє встановити розміри випуску продукції в результаті пропорційної зміни затрат ресурсів. У зв’язку з цим вважається, що ВФ є однорідною функцією, тобто

для довільних вектора ресурсів , числа і показника степеня . При ВФ характеризується спадною, при – постійною, а при – зростаючою віддачею від розширення масштабів виробництва. Зауважимо також, що в економічній області , в протилежному випадку аксіома монотонності буде порушуватись.

Крім наведених вище основних (часто їх називають неокласичними) аксіом, розглядають і інші аксіоми щодо моделювання ВФ, які випливають із властивостей абстрактних технологій, але на них ми зупинятись не будемо.

На основі побудованої ВФ можна визначити ряд числових характеристик. Нехай ВФ є неокласичною, тобто двічі неперервно диференційовною і строго угнутою. До головних характеристик такої ВФ належать середня та гранична ефективності (продуктивності) -го ресурсу, еластичність випуску (або коефіцієнт еластичності) відносно -го ресурсу, еластичність виробництва , гранична норма заміщення -го ресурсу -им ресурсом, еластичність заміщення ресурсів та . Формули для обчислення цих характеристик мають вигляд:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Економічний зміст характеристик (2.3)-(2.7) такий:

– середній випуск продукції при зміні -го ресурсу на малу одиницю;

– граничний приріст випуск продукції при зміні приросту -го ресурсу на малу одиницю;

– процентний приріст випуску на 1% приросту -го ресурсу (інакше кажучи, показує на скільки процентів зміниться випуск продукції при зміні затрат -го ресурсу на 1%);

– локальний показник процентної зміни випуску продукції при зміні масштабу виробництва на один процент при заданій структурі ресурсів ;

– кількість одиниць -го ресурсу, яка потрібна для заміщення вибувшої однієї малої одиниці -го ресурсу, щоб випуск не змінився;

– процентний приріст відношення (ресурсів та ) на 1% приросту граничної норми заміщення відповідних ресурсів.

Зробимо деякі уточнення.

Еластичність виробництва за означенням визначається за формулою:

З урахуванням того, що

маємо формулу (2.5):

тобто еластичність виробництва в деякій точці простору ресурсів рівна сумі еластичностей випуску відносно кожного з ресурсів. Очевидно, що для ВФ однорідних ВФ

Гранична норма та еластичність заміщення ресурсів пов’язані з поверхнею фіксованого рівня (ізоквантою), тобто множиною

Можливість взаємного заміщення ресурсів означає, що однакову кількість продукції можна випустити при різних співвідношеннях ресурсів. Продиференціювавши функцію вздовж ізокванти ( ), отримаємо рівність

Якщо в даній точці граничні ефективності відмінні від нуля або нескінченності, то ресурси можуть взаємозаміщуватись. Зафіксувавши всі затрати (ресурси), крім -го та -го, отримаємо формулу (2.6). Величину (як і ) також обчисляємо при русі вздовж ізокванти, оскільки всі ресурси, крім -го та -го фіксуються, а відповідні похідні у формулі (2.7) мають зміст лише на ізокванті. Відзначимо, що при ресурси повністю заміщаються, а при – зовсім не заміщаються.

Степеневі виробничі функції.

Багатофакторна степенева ВФ має вигляд

(2.8)

де – додатні параметри. Як правило, Якщо то функцію (2.8) записують в більш зручній логарифмічній формі (2.9):

(2.9)

Виробничі функції з постійною еластичністю заміщення ресурсів.

Це так звані CES – функції (назва походить від англійського терміну constant elasticity of substitution). Загальний вигляд CES – функції такий:

(2.14)

де параметри є додатними. При еквівалентною формою функції (2.14) є форма (2.15):

(2.15)

Функції випуску з постійними пропорціями.

Функцією з постійними пропорціями (або виробничою функцією Леонтьєва) називається функція

(2.20)

Лінійні виробничі функції.

Під лінійною ВФ розуміється функція

(2.25)

Вважається, що всі є додатними величинами.

Функція (2.25) одержується в результаті граничного переходу від CES – функції при якщо Справді,

що і вимагалось підтвердити.