Класифікація товарів на основы функцій попиту на товари.
Функції попиту дозволяють класифікувати товари.
Означення 1.10. Товар називається цінним, якщо при збільшенні доходу споживача попит на нього зростає:
Означення 1.11. Товар називається малоцінним, якщо при збільшенні доходу споживача попит на нього не зростає:
Зауважимо, що при зміні доходу згідно з (1.43)
тобто це означає, що цінні товари завжди існують. Крім того, попит на цінний товар спадає при збільшенні ціни на нього. Це безпосередньо випливає з рівняння Слуцького і (1.48), оскільки для товару маємо:
Означення 1.12. Два товари називаються взаємозамінювальними, якщо компенсоване зростання ціни на один товар приводить до збільшення попиту на інший товар.
Означення 1.13. Два товари називаються взаємодоповнювальними, якщо компенсоване зростання ціни на один товар приводить до зменшення попиту на інший товар.
Означення 1.14. Товар називається нормальним, якщо при зростанні ціни попит на нього спадає:
Означення 1.15. Товар називається товаром Гіффена, якщо при зростанні ціни попит на нього зростає:
Еластичність попиту та умови агрегації.
Використання на практиці рівняння Слуцького (1.47) з метою вивчення впливу цін та доходу споживача на попит далеко не завжди є зручним.
Це можна пояснити двома причинами. По-перше, частинні похідні важко співставляти, оскільки вони вимірюються у різних фізичних одиницях, наприклад приріст попиту на тканини вимірюється у метрах, а на охолоджуючі напитки – у літрах тощо. По-друге, значення приростів будуть змінюватись в залежності від зміни одиниць виміру. Від цих недоліків можна позбавитись, якщо у ролі характеристик чутливості зміни залежної змінної від незалежних змінних використовувати так звані коефіцієнти еластичності.
Означення
1.17.
Середнім
коефіцієнтом еластичності функції
однієї змінної
у точці
при зміні її аргумента від
до
називається частка від ділення відносного
приросту функції на відносний приріст
її аргумента:
(1.49)
Означення
1.18.
Коефіцієнтом
еластичності функції
у точці
називається граничне значення (1.49) при
:
(1.50)
Якщо
функція
є функцією
змінних, то використовують частинні
коефіцієнти еластичності
(1.51)
Коефіцієнти еластичності (1.49)-(1.51) є безрозмірними показниками, тому їх легко співставляти один з одним.
Використовуючи коефіцієнти еластичності, можна також вивчати чутливість попиту на -й товар в залежності від ціни та доходу . У цьому випадку формули (1.51) конкретизуються так:
(1.52)
(1.53)
Встановимо деякі важливі співвідношення між еластичностями (1.52) і (1.53). Із (1.42) випливає, що
, (1.54)
де індекс
,
як і раніше, вказує на
-й
стовпець матриць. Якщо (1.54) записати для
кожного
то отримаємо матричну рівність
(1.55)
Помноживши ліву та праву частини (1.55) справа на вектор , переконаємось у справедливості співвідношення:
(1.56)
де 0 – нульовий вектор-стовпець. Як випливає з (1.56) для будь-якої -тої компоненти ( -го товару)
(1.57)
Тепер
конкретизуємо рівняння Слуцького (1.47)
для
-го
товару відносно всіх цін
.
Отримаємо систему
(1.58)
Помножимо
перше рівняння (1.58) на
,
друге – на
,...,
-е
– на
,
додамо їх і врахувавши (1.54), прийдемо до
рівності
,
яка з урахуванням (1.57) остаточно матиме вигляд:
(1.59)
Якщо
поділити (1.59) на
,
то матимемо таке результуюче співвідношення:
або
(1.60)
Теорема 1.3. Для кожного товару сума всіх частинних еластичностей є нульовою, тобто сума всіх еластичностей за цінами дорівнює від’ємній еластичності за доходом.
Далі
скористаємось вектором
та матрицею
Помножимо останні рівності зліва на
:
(1.61)
(1.62)
де у (1.62) 0 – нульовий вектор-рядок. У розгорнутій формі (1.61), (1.62) перепишуться так:
Співвідношення (1.61) називається умовою агрегації Енгеля (Е.Енгель (1821-1896) – німецький статистик і економіст).
З умови агрегації Енгеля випливає висновок: всі товари з кошика споживача одночасно не можуть бути малоцінними.
Цей
висновок є очевидним. Оскільки ціни
від’ємними бути не можуть, то (1.61) ніколи
не буде виконуватись, якщо
Тепер
об’єднаємо співвідношення (1.61), (1.62) з
рівнянням Слуцького, записаного для
всіх цін
:
Помножимо останнє рівняння на вектор зліва, після чого отримаємо:
(1.63)
де 0-вектор-рядок або в координатній формі
(1.64)
Умова (1.63) (чи (1.64)) називається умовою агрегації Курно (Курно (1801-1877) – французький математик і філософ), з якої випливає висновок: значення попиту на товар дорівнює від’ємно зваженій сумі змін значень попиту відносно ціни товару , в якій ваговими коефіцієнтами є ціни товарів.