24. Модель Неймана. Поняття динамічної рівноваги, продуктивності й нерозкладності для моделі Неймана.

Як було зазначено вище, динамічні моделі міжгалузевого балансу є частинним випадком моделі Неймана [1, 39], в якій допускається сумісне виробництво в кожному технологічному процесі (в кожній галузі) декілька видів продукції. Це усуває основний недолік схеми Леонтьєва – припущення про чисті галузі (кожна галузь виробляє єдиний продукт і єдиним технологічним способом).

Модель Неймана задається парою невід’ємних матриць , де – матриця витрат, – матриця випуску. Якщо позначити через , – -ті вектори-стовпці матриць А, В, то пара описує виробничий процес, де – вектор витрат, а – вектор випуску продукції при функціонуванні даного процесу з одиничною інтенсивністю ( – кількість різних продуктів (кількість рядків), – кількість різних технологічних способів (кількість стовпців)).

Інтенсивність – це показник [29], за допомогою якого вимірюють "потоки", тобто залежні від часу економічні процеси, наприклад річний випуск продукції, річний обсяг споживання продуктів харчування в країні тощо. Під інтенсивністю технологічного способу виробництва в економіко-

математичній літературі, як правило, розуміють кількість продукції, що випускається моделюючим об’єктом в рік при використанні технології . Одинична інтенсивність – це інтенсивність . Скінченний набір виробничих процесів , будемо називати набором базисних процесів. Побудуємо новий процес, у якому вектори витрат і випуску є лінійними комбінаціями відповідних базисних процесів:

, (5.44)

де вектор назвемо вектором інтенсивностей (інтенсивностей використання технологічних способів). Виходячи з (5.44) будемо говорити, що -тий базисний процес бере участь в процесі з інтенсивністю .

Нехай – множина всеможливих процесів або технологічна множина Неймана. Елемент є штучним процесом, а базисні процеси можна вважати такими, що відповідають певним галузям чи підприємствам.

Перейдемо до описання моделі Неймана, в основі якої лежать наступні припущення 1) – 4).

1. Модель Неймана лінійна. Розглядається періодів (років, місяців тощо) , причому в кожному з періодів виробництво продукції здійснюється за допомогою одного із процесів множини , де – вектор інтенсивностей.

2. Модель Неймана замкнута, тобто для виробництва в період може бути витрачена лише продукція, вироблена в попередньому періоді :

, (5.45)

де – вектор початкових запасів на початку періоду .

Послідовність векторів інтенсивностей , які задовольняють систему нерівностей (5.45), називатимемо планом або траєкторією інтенсивностей.

Нехай – вектор цін на продукцію в період . Прибуток процесу з одиничною інтенсивністю за період визначається величиною (можна вважати, що на початку періоду здійснюється покупка сировини за цінами , а потім вироблена продукція вже продається за новими цінами ).

3. Жодний з базисних процесів , не дає додатного прибутку:

, ,

або

, . (5.46)

Припущення (5.46) називають правилом нульового прибутку, або правилом безприбутковості виробництва. Незважаючи на деяку парадоксальність припущення 3), його все-таки можна трактувати як специфічну властивість замкнутої моделі: із зростанням загальної кількості продуктів (товарів) грошова маса не збільшується.

Послідовність векторів-цін , які задовольняють нерівність (5.46), будемо називати траєкторією цін.

4. Загальна грошова маса не змінюється і постійно знаходиться в обігу:

, (5.47)

. (5.48)

Незмінність грошової маси, тобто баланс між вартістю витрат та вартістю випуску продукції в кожному з періодів відображається співвідношеннями (5.47). Той факт, що грошова сума весь час знаходиться в обігу, формалізується рівностями (5.48), які означають, що на початку кожного періоду вся сума грошей , отримана від продажу продукції попереднього виробничого циклу , дорівнює грошовій сумі витрат сировини наступного виробничого циклу .

Динамічна модель Неймана формалізується співвідношеннями (5.45)–(5.48).

При вивченні множин допустимих траєкторій і цін важливу роль відіграють так звані стаціонарні траєкторії – найпростіші з можливих динамічних траєкторій.

Означення 5.10. Траєкторія інтенсивностей називається стаціонарною, якщо існує таке число , що , тобто .

Означення 5.11. Траєкторія цін називається стаціонарною, якщо існує таке число , що , тобто .

Підставивши вирази та відповідно у (5.45) та (5.46), приходимо до таких тверджень:

• послідовність інтенсивностей буде стаціонарною тоді і лише тоді, коли для числа і початкового вектора виконується нерівність:

; (5.49)

• послідовність цін буде стаціонарною тоді і лише тоді, коли для числа і початкового вектора виконується нерівність:

. (5.50)

Для стаціонарних же траєкторій , співвідношення (5.47), (5.48) конкретизується у вигляді (5.51), (5.52):

, (5.51)

. (5.52)

Динамічна рівновага в моделі Неймана

Означення 5.12. Модель Неймана знаходиться у стані динамічної рівноваги , де числа , а – невід’ємні ненульові вектори, якщо виконуються умови (5.49)–(5.52):

,

.

Величина є вартістю витрат в стані рівноваги моделі Неймана. Будемо вважати, що . Тоді з (5.50), (5.51) випливає, що .

Означення 5.13. Трійка , де число , вектори , називається невиродженим положенням рівноваги в моделі Неймана, якщо

, (5.53)

, (5.54)

. (5.55)

Означення 5.14. Нехай вектор є компонентою невиродженого положення рівноваги. Тоді промінь (множина векторів) називається променем Неймана (магістраллю).

Дж. фон Нейман довів, що при деяких обмеженнях на матриці система (5.53)–(5.55), має розв’язок, однак накладені на та умови не мали чіткої економічної інтерпретації. У зв’язку з цим умови на матриці згодом були змінені, зокрема стали такими, як у наступному твердженні.

Теорема 5.15 (умови існування невиродженого положення рівноваги в моделі Неймана). Нехай невід’ємні матриці такі, що матриця випуску не має нульових рядків, а матриця витрат не має нульових стовпців. Тоді модель Неймана з даними матрицями має невироджене положення рівноваги, тобто система (5.53)–(5.55) має розв’язок.

Умови теореми мають очевидний економічний зміст. Умова , означає, що серед базисних процесів немає таких, які нічого не витрачають (відсутність „рогу достатку“), а умова означає, що в системі (система замкнута) виробляється кожний продукт. Ці умови ще можна конкретизувати так:

, .

Інакше кажучи, в кожному виробничому способі використовується хоча б один продукт і кожний продукт може бути вироблений принаймні одним технологічним способом.

У процесі доведення даної теореми [1, 39] розглядається пара двоїстих задач лінійного програмування:

(5.56)

(5.57)

де , , – числовий параметр.

Установлено, що існує , для якого . Це означає, що для відповідного до розв’язку задачі (5.56), при виконується співвідношення (5.53). Згідно з однією з теорем двоїстості , тому для розв’язку задачі (5.57) при виконується співвідношення (5.54). Це означає, що знайдена трійка є положенням рівноваги, хоча не обов’язково невиродженим. Виявляється також, що невироджене положення рівноваги обов’язково існує. Воно гарантується в тому випадку, коли число , де – відрізок (множина) розв’язків рівняння . Функція є функцією значень задачі (5.56). Ця функція визначена при всіх (оскільки при всіх задача (5.56) має розв’язок) та володіє властивостями: 1) – неперервна при ; 2)  ; 3) при ; 4) – монотонно спадна функція.

Крім того, вона має вигляд

,

де , ( – обмежені, замкнуті множини).

Означення 5.15. Числа та (найлівіший і найправіший нулі функції ) називаються відповідно числом Неймана і числом Фробеніуса.

Використовуючи наведені поняття, можна сформулювати ще одне твердження про положення рівноваги в моделі Неймана.

Теорема 5.16. Щоб трійка була положенням рівноваги (можливо, й виродженого) моделі Неймана, необхідно й достатньо, щоб , а пари та були розв’язками відповідно задач (5.56) і (5.57) при .

Означення 5.16. Число , яке входить у трійку невиродженого положення рівноваги моделі Неймана , називається темпом росту (темпом зростання замкнутої виробничої системи).

А числа та є відповідно максимально і мінімально можливими темпами росту по стаціонарній траєкторії. При маємо розширене відтворення, при – просте відтворення, а при – звужене відтворення.

Продуктивність і нерозкладність моделі Неймана

Поняття продуктивності моделі Неймана вводиться за аналогією з моделлю Леонтьєва, оскільки існує повна аналогія між власними числами (невід’ємними) технологічної матриці А в моделі Леонтьєва та числами (темпами росту), що фігурують у невироджених положеннях рівноваги моделі Неймана.

Виявляється, що продуктивність моделі Неймана повністю визначається значенням її числа Фробеніуса, а розкладність моделі залежить від числа її темпів росту.

Означення 5.17. Якщо система нерівностей , має розв’язок при будь-якому , то модель Неймана називається продуктивною.

Теорема 5.17 (критерій продуктивності моделі Неймана). Для того, щоб модель Неймана була продуктивною необхідно й достатньо, щоб її число Фробеніуса було меншим від одиниці: .

Щоб сформулювати твердження про залежність властивостей моделі Неймана від числа її темпів росту, введемо деякі поняття.

Нехай і деякі непорожні підмножини номерів галузей і продуктів відповідно.

Означення 5.18. Пару множин будемо називати ізольованою, якщо з того, що , випливають рівності .

Якщо в моделі Неймана існує ізольована пара , то це означає, що галузі з множини не споживають і не виробляють продукцію з номерами , тобто ці галузі утворюють підекономіку з простором товарів меншої розмірності.

Означення 5.19. Модель Неймана , для якої існує ізольована пара , називається розкладною. У протилежному випадку модель Неймана буде нерозкладною.

Для розкладної моделі Неймана відповідною перестановкою стовпчиків і рядків матриць А та В їх можна звести до вигляду

, ,

де – матриці-блоки.

Теорема 5.18 (про розкладність моделі Неймана). Модель Неймана розкладна, якщо її числа Неймана і Фробеніуса не збігаються .

Теорема 5.19 (про кількість темпів росту моделі Неймана). Модель Неймана може мати лише скінченне число темпів росту, яке не перевищує величини , де та – відповідно кількість рядків і стовпців матриць А, В.

Теорема 5.20 (про єдиність темпу росту нерозкладної моделі Неймана). Якщо модель Неймана нерозкладна, то вона має єдиний темп росту.

З теореми 5.20 випливає, що єдиному темпу росту нерозкладної моделі Неймана не обов’язково відповідає єдине положення рівноваги, оскільки воно залежить від кількості векторів , які в сукупності з темпом росту формують положення рівноваги.

Нагадаємо, що модель Неймана узагальнена Гейлом [4]. Але таке узагальнення тут розглядати не будемо, як і інші моделі нейманівського типу.