19. Коефіцієнт трудових витрат і витрат виробничих фондів

Коефіцієнти трудових витрат та витрат виробничих фондів служать для побудови деяких модифікацій моделей МБ та економіко-математичного аналізу балансових співвідношень.

Нехай у економіці, яка має галузей – вектор трудових ресурсів, а – вектор виробничих фондів у галузях економіки.

Величини , , будемо називати коефіцієнтами прямих трудових витрат, а величини , , – коефіцієнтами прямих витрат виробничих фондів (коефіцієнтами фондомісткості одиниці -тої продукції).

Повні трудові витрати визначаються величиною

(5.13),

де буде називатись вектором повних витрат трудових ресурсів, – матриця повних матеріальних витрат у міжгалузевому балансі, – вектор кінцевої продукції. Аналогічно обчислюються повні витрати виробничих фондів

(5.14)

Компоненти вектора називаються коефіцієнтами повних витрат виробничих фондів (витрат фондів на одиничні кінцеві випуски).

Зазначимо, що коефіцієнти трудових витрат та витрат виробничих фондів мають важливе значення для кількісного та якісного економічного аналізу міжгалузевих зв’язків.

Введені вище коефіцієнти витрат трудових ресурсів та виробничих фондів використовуються для побудови деяких модифікацій МБ та економіко-математичного аналізу балансових співвідношень.

Перш ніж сформулювати так звану оптимальну модель розподілу ресурсів у галузевій економіці, зазначимо, що основною причиною побудови такої моделі є наперед відомі загальні витрати трудових ресурсів у даній економіці. Це означає, що відома величина . У цьому випадку ставити задачу про знаходження вектора валового випуску , який би був розв’язком моделі Леонтьєва при будь-якому заданому не доцільно, оскільки наявних трудових ресурсів може не вистачити для досягнення .

Очевидно, що балансові співвідношення між валовим кінцевим випуском потрібно доповнити обмеженням: .

Оскільки часто при плануванні кінцевого випуску задають його структуру, то нехай - це і є той базовий вектор кінцевої продукції, який визначає її структуру. Тоді можна розв’язувати задачу про максимізацію числа комплектів кінцевої продукції при наявних обмеженнях на валову та кінцеву продукцію і трудові ресурси. Така задача може бути формалізована у вигляді:

(5.16)

З одного боку (5.16) є моделлю максимізації кінцевого випуску, а з іншого – моделлю оптимального розподілу трудових ресурсів. Аналогічно формується модель оптимізації числа комплектів кінцевої продукції при відповідних балансових обмеженнях на валову та кінцеву продукції та витрати на виробничі фонди. Дана модель має вигляд:

(5.17)

Модель (5.17) також є моделлю оптимального розподілу ВФ. Якщо до моделей (5.16) та (5.17), які є задачами лінійного програмування, виписати двоїсті задачі та скористатись І та ІІ основними теоремами двоїстості, то можна здійснити економіко-математичний аналіз процесів, пов’язаних з моделлю Леонтьєва та трудовими ресурсами.

20. Порівняльна статика моделі Леонтьєва.

Використовуючи модель Леонтьєва, вивчимо реакцію виробничої системи з технологічною матрицею на зміну вектора кінцевої продукції . Усі компоненти вектора є в даному випадку екзогенними параметрами. Результати досліджень сформулюємо й обґрунтуємо у вигляді строгих математичних тверджень.

Теорема 5.9 (про додатність вектора валового випуску в моделі Леонтьєва з невід’ємною, нерозкладною й продуктивною матрицею). Якщо в моделі (5.7) матриця невід’ємна, нерозкладна й продуктивна, а вектор , то вектор валового випуску буде додатним: .

Доведення. Оскільки – продуктивна матриця, то , тобто

(5.27)

Крім того, згідно з однією з властивостей нерозкладних матриць для будь-якої пари індексів , існує таке натуральне число , що ( – елемент матриці ). Це означає, що Отже, із (5.27) випливає, що для всіх

.

Отже, додатність вектора валового випуску встановлена.

Зауважимо також, що в умовах теореми 5.9 матриця .

Тепер з’ясуємо питання про те, як зміниться вектор валового випуску , якщо попит на перший товар (тобто перша координата вектора ) збільшиться.

Теорема 1. Нехай в моделі (5.7) матриця – невід’ємна, нерозкладна і продуктивна, а вектор тотожно не дорівнює 0. Тоді вектор валового випуску .

Теорема 2. Нехай в моделі (5.7) матриця – невід’ємна, нерозкладна і продуктивна. Якщо , , причому , , то

. (5.28)

Якщо

(5.29)

при , то .

Теорема 3. Якщо матриця – невід’ємна, нерозкладна й продуктивна, то еластичність будь-якого валового продукту і відносно попиту на довільний кінцевий продукт не перевищує одиниці: . Якщо ж , то при .