7. Проаналізуйте застосовність понять фазової та групової швидкості до фазових хвиль.

Оскільки для фазових хвиль закон дисперсії ω(k)= ω₀+ak² то фазова швидкість v_ph=ω/k=ω₀/k+ak. А оскільки ці хвилі не переносять енергію то поняття групової швидкості вводити не можна.

2.2.1

1. Чи можна впливати на кінетику відкритих (нерівноважних) систем шляхом зміни зовнішніх параметрів? Відповідь дати на прикладі горіння в комірці та моделі Шльогля.

При розгляді авто хвильових процесів в бістабільних середовищах, що описуються одновимірним нелінійним кінетичним рівнянням з дифузією , кінетика процесів буде визначатись виглядом кінетичної функції . Шляхом зміни зовнішніх параметрів можна змінювати вигляд цієї функції, що як результат відобразиться на кінетиці процесів відкритих нерівноважних систем. Зовнішні параметри можуть буди різними в залежності від конкретної системи.

В випадку горіння в розподіленій комірці( ) зміна температури навколишнього середовища призводить до різної поведінки системи: якщо температура навколишнього середовища дуже низька, запалювання взагалі неможливе (рис. 2.1.3 а); якщо температура запалювання перевищує температуру навколишнього середовища, то єдино можливий стаціонарний стан – горіння (рис. 2.1.3 б); в деякому проміжному діапазоні значень система формально має три стаціонарні однорідні стани – T₀, T_с та T₁ (рис. 2.1.3 в), з яких два стійкі T₀(без горіння) та T₁(з горінням). Причому поширення хвилі запалювання чи гасіння також залежать від конкретного значення температури навколишнього середовища.

а	в
б	Рис. 2.1.3. Кінетичні функції для випадків відсутності горіння (а), самозапалювання (б) та можливості горіння та відсутності горіння (в).

В хімічній реакції за моделлю Шльогля кінетична функція має вигляд . Додаючи в середовище, де протікає реакція, каталізатори, чи іншими сторонніми чинниками впливаючи на ймовірності протікання реакції (тобто коефіцієнти К₁А, К₂, К₃ та К₄В) можна змінювати вигляд кінетичної функції і як наслідок кінетику процесів в системі. Якщо величини К₁А, К₂, К₃ та К₄В приблизно однакові за величиною, то графік кінетичної функції f(x) матиме вигляд як показано на рис. 2.1.4.

Рис. 2.1.4. Кінетична функція для концентрації речовини Х у реакції Шльогля.

2. Чому з трьох стаціонарних станів бістабільного середовища один виявляється нестійким?

Якщо в системі є стійкий стаціонарний стан, то це означає що при відхиленні від цього стану система буде прагнути знову повернутись до нього. Для бістабільного середовища таких станів два. Очевидно, між областями притягання стійких станів має існувати межа. За відсутності флуктуацій, якщо система знаходиться у точці, що відповідає цій межі, то сили притягання до кожної зі стійких точок мають компенсуватися й система перебуватиме в такому стані нескінченно довго, тобто межа буде треьою стаціонарною, але нестійкою точкою. Тому нестійкість третього стану пояснюється тим, що він будучи областю, де сил притягання до стійких станів компенсуються, є межею між областями, де одна із сил притягання переважає над іншою.

Нехай маємо однорідне нелінійне кінетичне рівняння з дифузією для бістабільного середовища , д ля того щоб розв’язок був стійким потрібно щоб похідна від кінетичної функції в точці була від’ємною (тоді малі відхилення від стаціонарних станів експотенційно згасатимуть) Забезпечення двох таких умов ( , ) при нерозривній кінетичній функції можливе тільки в тому випадку, коли існує ще один розв’язок , де (тобто нестійкий стаціонарний розв’язок).Тобто це фактично результат тго що це розвязки нелінійного кінетичного рівняння з дивфузією яке по суті є рівнянням неперервності для величини за наявності джерел та додатковим припущеням, що потік величини рівний