11. Чи пов’язані між собою розміри конвективних валів і шестикутних комірок для тієї самої системи?

Виходячи з того, що система рівняння, що описує шестику4тні комірки

; (2.4.54)

;

,

де використані позначення

, , , , (2.4.55)

а всі амплітуди можна вважати дійсними величинами.

без урахування квадратичних доданків зводиться до раніше розглянутої системи (2.4.52)

(2.4.52)

де  – інкремент малих збурень, що визначається формулою (2.4.28 а) (з урахуванням нормування, див. п. 2.4.2.3), а K_lj – симетрична матриця коефіцієнтів, усі елементи якої додатні. Із системи (2.4.52) неважко отримати рівняння для інтенсивностей мод r_l:

, , , , . (2.4.53)

Система (2.4.53) за формою збігається з добре відомою системою рівнянь для конкуренції мод у багаточастотному (в даному разі – тричастотному) автогенераторі. Співіснування мод у багаточастотному автогенераторі можливе лише за слабкого зв’язку між модами, тобто при В_lj1 (jl). Але в нашому випадку можна показати, що при lj всі В_lj>1. Це означає, що в результаті конкуренції виживає одна єдина мода, тобто в системі встановлюватимуться конвективні вали.

Отже оскільки розміри комірок залежить від амплітуд трех стоячих хвиль кожна з яких описує конветивні вали, а отже і їх розміри, то розміри конвективних валів і шестикутних комірок для тієї самої системи пов’язані між собою.

12. Які властивості структур при конвекції Релея – Бенара залежать від початкових умов, а які – ні?

В щзалежності від початкових умов, асаме від початково інкремету малих збурень залежить подальша еволюція системи при збільшенні цієї величиниЇ що хображено графіку

Рис. 2.4.8. Залежність амплітуд мод, що характеризують конвекцію Релея - Бенара, від нормованого інкременту малих збурень. 1 – відсутність конвекції (А1=А2=А3=0), 2 – конвективні вали (А10, А2=А3=0), 3-4 – правильні шестикутні комірки (А1=А2=А3), 5 – неправильні шестикутні комірки (А1 А2=А3).

Нехай спочатку <₁, де

. (2.4.59)

Тоді при поступовому зростанні  в точці =0 виникнуть правильні шестикутні комірки, причому їхня амплітуда стрибком зросте від нуля до значення А=1/2(В+1).

При подальшому зростанні  біфуркація відбудеться в точці =₃, де

. (2.4.60)

При переході через цю точку замість шестикутних комірок виникнуть конвективні вали.

При зменшенні  від початкового значення >₃ конвективні вали зникнуть лише при переході через точку =₂, де

. (2.4.61)

Оскільки ₃>₂, сказане означає, що ділянка ₃>>₂ характеризується гістерезисом. Ще одна ділянка гістерезису виникає при 0>>₁ (рис. 2.4.8).

Також для конвективних валів поле їх швидкостей v(r,t).

і температур T(r,t)залеть від початкових умов Очевидні граничні умови для температури мають вигляд

, . (2.4.19)

Вважатимемо граничні поверхні шару рідини вільними. Тоді на цих поверхнях повинні виконуватися граничні умови

Якщозробити переходи то маємо систему рівняннь зі структурою у формі конвективних валів

;

,

З граничними умовами граничними умовами

для 

.

та для 

Але наприклад напрямок руху конвективних валів що відповідають другому та третьому стаціонарногму розвязку системи Лоренса

, ;

, .

Визначається виключнно флуктуаціямі.

13. Нехай у початковий момент часу 0>>₁, але А₁0. Який режим конвекції встановиться в системі? Від чого це залежить?

Режим конвекції, що встановиться, залежатиме від того, де опиниться точка, що відповідає заданним гамма та модулю А_1 на графіку (десь в області від’ємних гамм). Якщо модуль А_1 виявиться більшим за значення А_1 на гілці 3, то з часом система прийде до режиму в районі від’ємних гамм на гілці 3, тобто правильним шестикутним коміркам. Якщо ж амплітуда менша, то неоднорідність згасне й система прийде до стану із відсутністю конвективного руху.

Рис. 2.4.8. Залежність амплітуд мод, що характеризують конвекцію Релея - Бенара, від нормованого інкременту малих збурень. 1 – відсутність конвекції (А1=А2=А3=0), 2 – конвективні вали (А10, А2=А3=0), 3-4 – правильні шестикутні комірки (А1=А2=А3), 5 – неправильні шестикутні комірки (А1 А2=А3).

14. Нехай у початковий момент часу ₃>>₂, але А₁0. Який режим конвекції встановиться в системі? Від чого це залежить?

Аналогічно попередньому питанню: все залежить від того, де у порівнянні зі стійкими гілками графіку 2.4.8 лежатиме модуль заданого в початковий момент збурення А_1 --- він прийде до найближчої стійкої гілки й реалізує відповідний режим.