2. Як залежить критичне значення різниці температур, при якому виникає конвекція, від товщини шару рідини? Запропонуйте якісне пояснення цієї залежності.

Оскыльки , то , тобто чим більше товщина рідини тим менша критична різниця температур при досяганні якої виникає конвекція. Зрозуміти обернену пропорційність можна виходячи з того факту, що чим товще шар рідини, тим більша імовірність виникнення флуктуацій, й як наслідок, конвекції.

3. Який із стаціонарних розв’язків системи Лоренца відповідає термодинамічній гілці?

Термодинамічною гілкою називають розв’язок, що проходить крізь стан термодинамічної рівноваги. Для системи Лоренца маємо наступні розв’язки:

;

, ;

, .

З них термодинамічній рівновазі, тобто вісутності конвекції, відповідає лише перший, отже він відповідає й термодинамічній гілці.

4. Які властивості конвекції Релея – Бенара дозволяє передбачити лінійна теорія?

Побудована лінійна теорія аналогічна до лінійної теорії автогенератора: вона передбачає довжину хвилі, на якій розвивається аперіодична нестійкість, (аналог частоти автоколивань) та критичне значення числа Релея (аналог амплітудної умови самозбудження), а також інкремент малих коливань. Для того, щоб знайти амплітуду усталеного збурення (тобто, по суті, амплітуду утворюваної дисипативної структури), необхідна нелінійна теорія.

5. Чому без урахування залежності параметрів рідини від температури теорія передбачає стійкість лише для конвективних валів?

Для отримання конвективних комірок, очевидно, ми повинні отримати деяку додаткову просторову періодичність. Врахування залежності в’язкості від температури накладає додаткову умову на розповсюдження рідини під час конвекції, що дозволяє звести систему рівнянь руху на елемент рідини до системи, що аналогічна конкуренції мод в багаточастотному (в даному випадку тричастотному) генераторі:

, , , , . (2.4.53)

Три частоти задають квантування за трьома просторовими напрямками. Співіснування мод у багаточастотному автогенераторі можливе лише за слабкого зв’язку між модами, тобто при В_lj1 (jl). Але в нашому випадку без врахування залежності параметрів рідини від температури можна показати, що при lj всі В_lj>1. Це означає, що в результаті конкуренції виживає одна єдина мода, тобто в системі встановлюватимуться конвективні вали.

6. В якому наближенні вдається аналітично проаналізувати формування шестикутних комірок Бенара?

Перше з таких наближень є наблииженням малої над критичності R=R_cr(1+), де 01 де .

А друге наближення це фактично задання структури розвязків у формі шистикутних комірок

задамо форму розв’язку: підставлятимемо його для всіх змінних (тиск, температура та три компоненти швидкості) у формі трьох пар хвиль:

, (2.4.50)

,

де вектори k_l утворюють правильний трикутник:

, , . (2.4.51)

Легко зрозуміти, що сума трьох пар стоячих хвиль вигляду (2.4.50)-(2.4.51) справді описує набір правильних шестикутних комірок у площині (х, у) (див. рис. 2.4.7 в).

Рис. 2.4.7. Шестикутні комірки Бенара: в – розв’язок у вигляді суперпозиції трьох стоячих хвиль.