2. Распределение максвелла

Основы классической статистики, разработанные во второй половине XIX столетия, рассматривают макроскопические системы, состоящие из большого числа частиц (~10²⁵). Статистика отвечает на два основных вопроса: а) как распределены частицы макросистем по координатам, скоростям, импульсам, энергиям и т.д.; б) как свойства таких систем связаны в условиях статистического равновесия с микрохарактеристиками частиц, составляющих данную макросистему.

В основе классической статистики лежат следующие положения:

1. Частицы, образующие макросистемы, различимы, т.е. в принципе можно проследить за любой частицей.

2. Физические характеристики частиц, например, скорость, энергия, импульс, могут изменяться непрерывно, т.е. принимать любые значения.

3. В тождественных состояниях может находиться любое число частиц, т.е. любое число частиц может иметь одну и ту же скорость, энергию и т.д.

Идеальный газ в условиях статистического равновесия, обусловленного хаотическим взаимодействием молекул друг с другом и со стенками сосуда при соударениях, является классической статистической системой, и его состояние, например, распределение молекул газа по модулю скорости, может быть описано некоторой функцией:

, (4)

где dn_v – число молекул в единице объема газа, скорости, которых лежат в интервале от v до v+dv, n – концентрация молекул. Функция распределения показывает, какова вероятность того, что скорость любой наугад выбранной молекулы имеет значение, заключенное в единичном интервале скоростей вблизи данной скорости v, или каково относительное число молекул, скорости которых лежат в этом единичном интервале скоростей, т.е. имеет смысл плотности вероятности.

Величина (5)

есть вероятность того, что скорость данной молекулы лежит в интервале от v до v+dv, или относительное число молекул, скорости которых заключены в этом интервале. Соответственно, вероятность того, что скорость любой взятой наугад молекулы лежит в пределах от нуля до бесконечности, равна 1 (или 100%).

(6)

Это уравнение называется условием нормировки вероятности к единице. Явный вид функции распределения молекул идеального газа по скоростям (точнее говоря, по модулю скорости) был получен английским физиком Д.К. Максвеллом в 1859 г. Она имеет вид:

, (7)

где m – масса молекулы;

T – абсолютная температура идеального газа;

v – скорость молекулы газа;

k – постоянная Больцмана.

График этой функции распределения при некоторой температуре Т приведен на рис. 4.

Особенности этой функции таковы:

при v=0 F(v)=0 из-за множителя v²;

при v= F(v)=0 из-за множителя ,

что означает маловероятность весьма малых и очень больших скоростей молекул. Максимум кривой F(v) приходится на значение v_в – наиболее вероятной скорости молекул, т.е. для данного значения скорости плотность вероятности является наибольшей при данной температуре. Значение v_в можно вычислить, если продифференцировать F(v) по v и приравнять нулю полученное значение .

Рис. 4. График функции распределения Максвелла

Запишем F(v) в виде:

, (8)

где А= - величина, которая не зависит от v.

(9)

- (10)

• максимальное значение функции распределения при данной температуре.

Кроме того, можно вычислить v_в и F(v_в) для двух температур Т₁ и Т₂. Пусть Т₂>T₁. Из формул (9) и (10) следует, что v_в – возрастает, а F(v_в) – уменьшается с ростом температуры, и это иллюстрируют графики на рис. 5.

Вероятность того, что скорость данной молекулы имеет одно из значений в пределах от v₁ до v_2, равна площади заштрихованной полоски (см. рис. 4), т.е.

. (11)

Этот интеграл можно вычислить, подставив в выражение (11) явный вид F(v) (см. (7)).

Наглядное представление о максвелловском распределении можно получить, используя модельный опыт (см. рис. 6) подобно тому, как это было сделано при рассмотрении распределения Гаусса.

В левом верхнем углу расположена «пушка» с шариками,

которые вылетают с различными скоростями в горизонтальном направлении и в зависимости от скорости попадают в одну из ячеек. По результатам достаточно большого числа опытов можно судить о статистическом распределении шариков по скоростям, о вероятности попадания шарика в какую-либо ячейку, о наиболее вероятной скорости v_в и т.д.