Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный университет»

Факультет «Приборостроительный»

Кафедра «Системы управления»

Отчет

по лабораторной работе № 3

«Устойчивость линейных систем управления»

Составили:

студенты группы ПС-317

Фартуков А.А.

Томарук Т.Б.

« » 2010 г.

Проверил:

Зырянов Г. В.

« » 2010 г.

Челябинск 2010

Цель работы: исследование устойчивости непрерывных линейных систем управления и экспериментальное определение границ устойчивости в плоскости параметров системы.

1. Система с устойчивым объектом управления и инерционным регулятором

1.1 Описание системы

Структурная схема исследуемой линейной системы представлена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1

W₀(s)= , W₁(s)= , где W₀(s) - устойчивый объект управления (O1), W₁(s) - инерционный регулятор (P1), К₀- коэффициент передачи звена, T₀, Т₁- постоянная времени, Kр - усилитель сигнала ошибки.

Параметры системы - Kр=4.6, K₀=10,T₀=0.46 c,T₁=0.01c.

1.2 Характеристическое уравнение

Составим характеристическое уравнение системы, для этого найдем передаточную функцию разомкнутой системы:

Wр(s)= = .

Тогда характеристическое уравнение системы:

Q(s)+R(s)=0,

T₀T₁s³+ (T₀+T₁)s² + s + К_PK₀=0.

Рассчитаем значения коэффициентов характеристического уравнения:

a₀= T₀T₁=0.0046, a₁= T₀+T₁=0.47, a₂=1, a₃= K_pK₀=46.

Характеристическое уравнение запишется:

0.0046s³+ 0.47s² + s + 46=0.

1.3 Проверка устойчивости системы по алгебраическому критерию

Воспользуемся критерием Гурвица, согласно которому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы диагональные миноры матрицы Гурвица были устойчивы.

Cоставим матрицу Гурвица:

Г=

Тогда должны выполнятся условия (при положительности коэффициентов характеристического уравнения):

a₁>0,

a₁a₂>a₀a₃.

Подставив числовые значения, получим:

0.47>0,

0.471>0.004646=0.212.

Очевидно, что рассматриваемая система устойчива.

1.4 Проверка устойчивости системы по критерию Михайлова

Составим функцию Михайлова:

характеристическое уравнение – Ф(s)= 0.0046s³+ 0.47s² + s + 46, тогда функцию Михайлова получим заменой s на jω – M(jω)= 0.0046( jω)³+ 0.47( jω)² + (jω)¹ + 46=

=46-0.47ω² +j(ω-0.0046ω³). Заметим что порядок системы равен трем (n=3).

Годограф функции Михайлова представлен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2

Как видим, при изменении частоты от 0 до  вектор кривой Михайлова начав своё движение на вещественной полуоси, последовательно проходит три квадранта (для системы третьего порядка), нигде не обращаясь в нуль. Согласно критерию Михайлова система устойчива.

1.5 Проверка устойчивости по критерию Найквиста

Определим устойчивость разомкнутой системы. Характеристическое уравнение разомкнутой системы – R(s)= . Корни характеристического уравнения – s₁=0; 1+s₂T₀=0, s₂=-1/T₀=-2.174; 1+s₃T₁=0, s₃=-1/T₁=-100. Согласно теореме Ляпунова о неустойчивости, разомкнутая система находится на границе устойчивости, так как характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, а остальные корни являются левыми. Данная система является астатической с астатизмом первого порядка =1 (один нулевой корень).

Передаточная функция разомкнутой системы W_р(s)= .

W(jω)=U(ω)+jV(ω), где

.

Годограф АФЧХ представлен на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3

Так как разомкнутая система на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой ν = 1 = бесконечно большого радиуса, не охватывал особую точку (-1; j0). Из рисунка 1.3 можно сделать вывод, что замкнутая система устойчива.

Определим устойчивость системы по критерию Найквиста для логарифмических характеристик.

L()=20lg(|Wp(jω)|)= = ,

()= – – arctg T­₀ – arctg T₁₌– – arctg 0.46ω – arctg 0.01.

Графики ЛАХ и ЛФХ представлены на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4

Как видим из рисунка, разность между числом положительных и отрицательных переходов частотной характеристики уровня –π(2i+1) (i=0,1,2…) в области, где амплитудная характеристика больше нуля, равна нулю. Можно сделать вывод, что система устойчива.

1.6 Граничное значение коэффициента усиления K_гр

Характеристическое уравнение для системы 3-го порядка:

a₀s³ + a₁s² + a₂s + a₃ = 0

T₀T₁s₃+ (T₀+T₁)s₂ + s₂ + К_PK₀s₀=0,

a₀= T₀T₁=0.0046, a₁= T₀+T₁=0.47, a₂=1, a₃= K_pK₀=46,

0.0046s₃+ 0.47s₂ + s₁ + 46=0.

Согласно критерию устойчивости Гурвица, система третьего порядка будет устойчива, если выполняются следующие неравенства:

a₀>0, a₁>0, a ₂>0, a₃>0, a₁a₂ – a₀a₃>0, т.к. коэффициенты характеристического уравнения положительны, то должно выполнятся условие (T₀ + T₁)1 – K_PK₀T₀T₁>0, откуда

K_гр= = =10.217.

1.7 Граница области устойчивости

Границу области устойчивости в плоскости параметров (К_Р; T₁) построим исходя из найденной выше формулы - K_гр(Т₁)= = . На рисунке 1.5 представлен график расчетной границы области устойчивости с отметками экспериментальных точек.

В таблице 1.1 представлены экспериментальные данные.

Таблица 1.1 Экспериментальные данные

	1 опыт-система устойчива	2 опыт-система не устойчива	3 опыт- колебательная граница устойчивости
Kp	4.6	3.6	2.2	1.2	0.88	0.72	0.55	0.47	0.36	0.31	0.3
T1	0.01	0.11	0.05	0.1	0.15	0.2	0.3	0.4	0.7	1	1.2

Рисунок 1.5

Из рисунка видно, что при параметрах K_p=4.6, Т₁=0.01 система устойчива, что было подтверждено в ходе исследования системы на устойчивость, при параметрах K_p=3.6, Т₁=0.11 - неустойчива.

Вывод

Исходя из проведенных исследований системы по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста можно сделать вывод, что система устойчива. В ходе исследования был найден коэффициент К_гр. При коэффициенте усиления К_р меньшем К_гр система устойчива, если К_р равен К_гр, то система находиться на границе устойчивости, а при К больше К_гр система неустойчива.

2. Система с устойчивым объектом управления и инерционно-форсирующим регулятором

2.1 Описание системы

Структурная схема исследуемой линейной системы представлена на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1

W₀(s)= , W₁(s)= , где W₀(s) - устойчивый объект управления (O1), W₁(s) - инерционно-форсирующий регулятор (P2), К₀- коэффициент передачи звена, T₀, Т₁, Т₂- постоянная времени, Kр - усилитель сигнала ошибки.

Параметры системы - Kр=4.6, K₀=10,T₀=0.46 c,T₁=0.01c, Т₂=0.1 с.

2.2 Характеристическое уравнение

Составим характеристическое уравнение системы, для этого найдем передаточную функцию разомкнутой системы:

Wр(s)= = .

Тогда характеристическое уравнение системы:

Q(s)+R(s)=0,

T₀T₁s³+ (T₀+T₁)s² + (K_PK₀T₂ + 1)s + K_PK₀ =0- порядок системы равен трем (n=3, a₀s³ + +a₁s² +a₂s + a₃=0).

Рассчитаем значения коэффициентов характеристического уравнения:

a₃=K_pK₀=46, a₂=K_PK₀T₂ + 1=5.6, a₁=T₀+T₁=0.47, a₀=T₀T₁=0.0046.

Характеристическое уравнение запишется:

0.0046s³+ 0.47s² +5.6s + 46=0.

2.3 Проверка устойчивости системы по алгебраическому критерию

Воспользуемся критерием Гурвица, согласно которому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы диагональные миноры матрицы Гурвица были устойчивы (при положительности коэффициентов характеристического уравнения).

Составим матрицу Гурвица:

Г=

Тогда должны выполнятся условия:

a₀>0, a₁>0, a₂>0, a₃>0,

a₁a₂>a₀a₃.

Подставив числовые значения, получим:

0.47>0, 0.47>0, 5.6>0, 46>0,

0.475.6>0.004646=0.212.

Очевидно, что рассматриваемая система устойчива.

2.4 Проверка устойчивости системы по критерию Михайлова

Составим функцию Михайлова:

характеристическое уравнение – Ф(s)= 0.0046s³+ 0.47s² +5.6s¹ + 46, тогда функцию Михайлова получим заменой s на jω – M(jω)= 0.0046( jω)³+ 0.47( jω)² + 5.6(jω) + 46=

=46-0.47ω² +j(5.6ω-0.0046ω³). Заметим что порядок системы равен трем (n=3).

Годограф функции Михайлова представлен на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2

Как видим, при изменении частоты от 0 до  вектор кривой Михайлова начав своё движение на вещественной полуоси, последовательно проходит три квадранта (для системы третьего порядка), нигде не обращаясь в нуль. Согласно критерию Михайлова система устойчива.

2.5 Проверка устойчивости по критерию Найквиста

Определим устойчивость разомкнутой системы. Характеристическое уравнение разомкнутой системы – R(s)= . Корни характеристического уравнения – s₁=0; 1+s₂T₀=0, s₂=-1/T₀=-2.174; 1+s₃T₁=0, s₃=-1/T₁=-100. Согласно теореме Ляпунова о неустойчивости, разомкнутая система находится на границе устойчивости, так как характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, а два являются левыми. Данная система является астатической с астатизмом первого порядка =1 (один нулевой корень).

Передаточная функция разомкнутой системы W_р(s)= .

W(jω)=U(ω)+jV(ω), где

U(ω)= ,

V(ω)= .

Годограф АФЧХ представлен на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3

Так как разомкнутая система на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой ν = 1 = бесконечно большого радиуса, не охватывал особую точку (-1; j0). Из рисунка 2.3 можно сделать вывод, что замкнутая система устойчива.

Определим устойчивость системы по критерию Найквиста для логарифмических характеристик.

L()=20lg(|Wp(jω)|)= =

()= –  + arctg T₂ –arctg T­₀ –arctg T₁=– – arctg 0.46ω – arctg 0.01.

Графики ЛАХ и ЛФХ представлены на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4

Как видим из рисунка, разность между числом положительных и отрицательных переходов частотной характеристики уровня –π(2i+1) (i=0,1,2…) в области, где амплитудная характеристика больше нуля, равна нулю. Можно сделать вывод, что система устойчива.

2.6 Граничное значение коэффициента усиления K_гр

Характеристическое уравнение для системы 3-го порядка:

a₀s³ + a₁s² + a₂s + a₃ = 0

K_PK₀ + (K_PK₀T₂ + 1)s + (T₀+T₁)s² + T₀T₁s³ =0,

a₃=K_pK₀=46, a₂=K_PK₀T₂ + 1=5.6, a₁=T₀+T₁=0.47, a₀=T₀T₁=0.0046,

0.0046s₃+ 0.47s₂ +5.6s₁ + 46=0.

Согласно критерию устойчивости Гурвица, система третьего порядка будет устойчива, если выполняются следующие неравенства:

a₀>0, a₁>0, a ₂>0, a₃>0, a₁a₂ – a₀a₃>0.

Т.к. коэффициенты характеристического уравнения положительны, то должно выполнятся условие (T₀ + T₁)( K_PK₀T₂ + 1) – K_PK₀T₀T₁>0, откуда

K_гр= = =-1.11.

Т.к. K_гр<0, то при любом значении К (K>0) система будет устойчива.

2.7 Граница области устойчивости

Границу области устойчивости в плоскости параметров (К_Р; T₁) построим исходя из найденной выше формулы - K_гр(Т₁)= = . На рисунке 2.5 представлен график расчетной границы области устойчивости c отметками экспериментальных точек.

В таблице 2.1 представлены экспериментальные данные.

Таблица 2.1 Экспериментальные данные

	1 опыт-система устойчива	2 опыт-система не устойчива	3 опыт - колебательная граница устойчивости
Kp	4.6	2.0	2.5	1.2	0.87	0.72	0.56	0.46	0.36	0.32
T1	0.01	0.3	0.2	0.3	0.4	0.5	0.7	1	2	4

Рисунок 2.5

Из рисунка видно, что при параметрах K_p=4.6, Т₁=0.01 система устойчива, что было подтверждено в ходе исследования системы на устойчивость, при параметрах K_p=2.0, Т₁=0.3 - неустойчива.

Вывод

Исходя из проведенных исследований системы по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста можно сделать вывод, что система устойчива. В ходе исследования был найден коэффициент К_гр. Т.к. K_гр<0, то при любом значении К (K>0) система будет устойчива, т.е. коэффициент К не оказывает влияние на устойчивость системы.

3. Система с неустойчивым объектом управления и инерционным регулятором