ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

1. Теоремы сложения вероятностей

1.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Доказательство.

Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют к элементарных событий, событию В— p элементарных событий. Так как А и В— несовмеcтные события, то ни одно из элементарных событий не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать к + p элементарных событий. По определению вероятности

Р(А) = к/п, Р(В) = p/п, Р(А + В) = (к + p)/п,

откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместных событий.

1.2. Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р(А+В +С) = Р(А) + Р(В) +Р(С)

1.3. Теорема сложения вероятностей для нескольких совместных событий

Вероятность суммы нескольких совместных событий равна сумме их вероятностей минус произведение вероятностей:

Р(А+В +С) = Р(А) + Р(В) +Р(С) — Р(АВС)

Для двух совместных событий вероятность равна сумме их вероятностей минус произведение вероятностей:

Р(А+В ) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ)

Если события А_1, А₂, ..., А_n несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂) +…….+Р(А_n) =1

Событие А называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р(Ā) =1

Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р(А|В).

События Л и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий

Р(А|В) = Р(А), Р(В|А) = Р(В).

Пример 1. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

Вероятность вынуть красный шар Р(А) = 3/10, синий Р(В)= 5/10.

Так как события А и В несовместны, то по доказанной выше

теореме

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 3/10 + 5/10 = 8/10

Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Р(А) = 0,7 и Р(В)=0,8. Найдем вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Очевидно, события А и В совместны и независимы. Поэтому

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7 0,8 = 1,5 - 0,56 = 0,94.