7.2. Пример

Вычислить предел

Сначала «дубовый» вариант решения, подставим х=2:

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

Знаменатель: ,

 

8. Метод умножения числителя и знаменателя

на сопряженное выражение.

Продолжаем рассматривать неопределенность вида .

7.1. Пример

Найти предел

Начинаем решать. Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела:  

Получена неопределенность вида , которую нужно устранить. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел:

Что можно сказать?  у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать  (которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

А для того, чтобы выражение не менялось, нужно его разделить на то же самое выражение:

Теперь самое время применить в числителе формулу :

Разложим числитель и знаменатель на множители и подставим х=3 под корни:

7.2. Пример

Найти предел

Решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение:

Предел найден.

8. Использование первого и второго замечательных пределов для нахождения пределов.

Sin x

8.1. Первый замечательный предел lim --------- = 1

x→ 0 x

для практического использования лучше записать в виде:

Sin f(x)

lim --------- = 1

f(x)→ 0 f(x) , в самом деле

Sin y

y = f(x) lim --------- = 1

y→ 0 y

8.1. Пример

Найти предел:

Sin 5x

Lim ---------------

x→ 0 2x

Решение:

Sin 5x Sin 5x 5

Lim --------------- = Lim --------------- * ------- =

x→ 0 2x x→ 0 2x 5

5 Sin 5x 5 5

= ----- * Lim --------------- = ----- * 1 = -----

2 x→ 0 5x 2 2

2. Второй замечательный предел:

Lim ( 1+1/x )^x = e

x→ 0