3. Предел функции.
Функция y=f(x) имеет число А пределом при стремлении х к а, если для любого числа ε › 0 найдется такое число δ › 0, что | y – A | ‹ ε если |х - а| ‹ δ,
или lim у = A
x→a
3. Непрерывность функции.
Функция y=f(x) непрерывна в точке х = а, если lim f(x) = f(а), т.е.
x→a
предел функции в точке х = а равен значению функции в данной точке.
Нахождение пределов функций.
Основные теоремы о пределах функций.
Предел постоянной величины равен этой постоянной величине:
lim А = A
Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов этих функций:
lim ( f + g - h ) = lim f + lim g - lim h
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
lim ( f * g* h ) = lim f * lim g * lim h
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен 0:
х lim х
lim ------- = ----------
у lim у
Sin x
Первый замечательный предел: lim --------- = 1
x→0 x
Второй замечательный предел: lim ( 1 + 1/x ) x = e ( e = 2, 718281..)
x→∞
Примеры нахождения пределов функций.
5.1. Пример:
Любой предел состоит из трех частей:
1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно х, хотя вместо «икса» может быть любая другая переменная. На месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность 0 или .
3) Функции под знаком предела, в данном случае .
Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».
Очень важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? Выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Готово.
Итак, первое правило: Когда дан предел, надо сначала просто подставить число в функцию.
5.2. Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает.
Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:
Согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.